[논문 리뷰] New Classes of Positive Semi-Definite Hankel Tensors

Qun Wang, Guoyin Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 10.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 강한 하 Hankel 텐서가 아닌 새로운 종류의 양의 준정칙 하 Hankel 텐서, 즉 잘라낸 하 Hankel 텐서와 준잘라낸 하 Hankel 텐서를 소개한다. 절대 적분 가능한 함수로 생성된 강한 하 Hankel 텐서는 항상 완전 분해 가능하다는 것을 증명하고, 완전 분해 가능하지 않은 SOS 하 Hankel 텐서의 명시적 예를 제시하여 하 Hankel 텐서 계열 간의 계층 구조에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A Hankel tensor is called a strong Hankel tensor if the Hankel matrix generated by its generating vector is positive semi-definite. It is known that an even order strong Hankel tensor is a sum-of-squares tensor, and thus a positive semi-definite tensor. The SOS decomposition of strong Hankel tensors has been well-studied by Ding, Qi and Wei \cite{DQW1}. On the other hand, very little is known for positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. In this paper, we study some classes of positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. These include truncated Hankel tensors and quasi-truncated Hankel tensors. Then we show that a strong Hankel tensor generated by an absoluate integrable function is always completely decomposable, and give a class of SOS Hankel tensors which are not completely decomposable.

연구 동기 및 목표

• 강한 하 Hankel 텐서가 아닌 새로운 종류의 양의 준정칙 하 Hankel 텐서를 식별하고 특성화하는 것.
• 하 Hankel 텐서의 맥락에서 완전 분해 가능성, 강한 하 Hankel 텐서, 그리고 SOS 분해 간의 관계를 조사하는 것.
• 모든 완전 분해 가능한 하 Hankel 텐서가 반드시 강한 하 Hankel 텐서인지, 그리고 잘라낸 하 Hankel 텐서가 완전 분해 가능한지에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 완전 분해 가능하지 않은 SOS 하 Hankel 텐서의 명시적 예를 제시하여 하 Hankel 텐서 계열 내의 엄밀한 계층 구조를 보여주는 것.

제안 방법

• 특정 생성 벡터를 통해 잘라낸 하 Hankel 텐서와 준잘라낸 하 Hankel 텐서를 정의하며, 이는 짝수 인덱스에서 대칭적이고 부호가 번갈아가며 나머지 위치는 0인 특성을 가진다.
• 리만 합의 극한을 통한 SOS 분해를 사용하여 특정 하 Hankel 텐서가 SOS임을 보이며, 비음수 가중치 함수를 활용한다.
• 바르데모브 분해를 적용하여 대칭 텐서를 랭크-1 텐서의 합으로 표현함으로써, 짝수 차수 텐서에 대해 완전 분해 가능성을 확립한다.
• 동차 다항식 표현에서 계수를 비교하여 반례를 구성함으로써 완전 분해 가능성에 대한 모순을 보여주며, $x_1^{m-2}x_2^2$ 항의 계수에서 모순을 유도한다.
• 유전성 성질과 극한 추론을 활용하여, 완전 하 Hankel 텐서의 극한이 여전히 완전 분해 가능하다는 것을 보이며, 극한에 대한 닫힘성을 확립한다.
• 이산 측도에 의한 근사화를 통해 절대 적분 가능한 음이 아닌 함수로 생성된 강한 하 Hank엘 텐서가 완전 분해 가능하다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 하 Hankel 텐서가 아닌 양의 준정칙 하 Hankel 텐서가 존재하는가?
• RQ2 모든 완전 분해 가능한 하 Hankel 텐서는 반드시 강한 하 Hankel 텐서인가?
• RQ3 잘라낸 하 Hankel 텐서는 완전 분해 가능할 수 있는가?
• RQ4 완전 분해 가능하지 않은 SOS 하 Hankel 텐서가 존재하는가?
• RQ5 절대 적분 가능한 음이 아닌 함수로 생성된 강한 하 Hankel 텐서는 항상 완전 분해 가능한가?

주요 결과

• 절대 적분 가능한 음이 아닌 함수로 생성된 강한 하 Hankel 텐서는 항상 완전 분해 가능하다.
• 순서 $m=2k$, $k\geq2$, $n=2$ 인 짝수 차수의 SOS 하 Hankel 텐서 중 완전 분해 가능하지 않은 명시적 예를 제시하며, 생성 벡터는 $v_0 = v_m = 1$, $v_{2l} = v_{m-2l} = -1/{m \choose 2l}$ ($l=1,\ldots,k-1$) 이고, 나머지 $v_j=0$ 이다.
• 제시된 예는 양의 준정칙이자 SOS임을 증명하였으며, 관련 동차 다항식을 이항식의 제곱 합으로 표현함으로써 이를 보였다.
• 동일한 예는 완전 분해 가능하지 않으며, 랭크-1 분해에서 $x_1^{m-2}x_2^2$ 항의 계수가 음수 합이 되어 비음수성과 모순됨을 보였다.
• 이 예는 SOS 하 Hankel 텐서의 계열이 완전 분해 가능한 하 Hankel 텐서의 계열보다 엄밀히 크다는 것을 보여준다.
• 논문은 모든 완전 분해 가능한 하 Hankel 텐서가 강한 하 Hankel 텐서가 아니며, 모든 잘라낸 하 Hankel 텐서가 완전 분해 가능하지 않다는 것을 보여줌으로써 열린 문제를 해결하였다.