[논문 리뷰] New entropy for Korteweg's system, existence of global weak solution and Prodi-Serrin theorem

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 26.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 캐필라리티를 고려한 코르테웨그 표면장력 유체계에 대해 새로운 효과적 속도와 엔트로피 구조를 도입하여, 약한 해의 전역 존재성과 보다 정교한 프로디-세르린 형식의 폭발 기준을 증명한다. 베소프 공간 추정과 코르테웨그 텐서의 새로운 분해를 활용하여, 밀도와 속도에 대해 강한 컴팩트니와 향상된 정(regularity)을 확립함으로써, 이전의 압축성 라우지에르-니코르스키 방정식에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This work is devoted to prove new entropy estimates for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985) (see \cite{fDS}), which can be used as a phase transition model. More precisely we will derive new estimates for the density and we will give a new structure for the Korteweg system which allow us to obtain the existence of global weak solution. The key of the proof comes from the introduction of a new effective velocity.The proof is widely inspired from the works of A. Mellet and A. Vasseur (see \cite{fMV}). In a second part, we shall give a Prody-Serrin blow-up criterion for this system which widely improves the results of \cite{Hprepa} and the known results on compressible systems.

연구 동기 및 목표

• 압축성 라우지에르-니코르스키 방정식의 결과를 확장하여, 캐필라리티를 고려한 이소othermal 코르테웨그 체계에 대해 전역 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 확산 인터페이스 모델의 맥락에서 컴팩트니와 정(regularity)을 향상시키기 위한 밀도에 대한 새로운 엔트로피 추정을 도출하는 것.
• 운동량 방정식을 단순화하고 더 강력한 사전 추정을 가능하게 하는 새로운 효과적 속도 변수를 도입하는 것.
• 코르테웨그 체계에 대해 기존 결과를 개선한 보다 정교한 프로디-세르린 형식의 폭발 기준을 제공하는 것.
• 밀도의 로그 기울기로 표현된 코르테웨그 텐서를 재구성하여, 에너지 추정에 도움이 되는 새로운 점성 구조를 드러내는 것.

제안 방법

• 운동량 방정식이 에너지 추정과 베소프 공간 추정에 적합한 형태로 변환되도록 새로운 효과적 속도 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $ 를 도입한다.
• $ \nabla \sqrt{\rho} \in L^\infty_T(L^2) $ 를 분석하여 새로운 엔트로피 추정을 유도함으로써, $ \ln \rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty}) $ 의 제어를 확보한다.
• 베소프 공간에서의 파라프로덕트 및 베르슈타인 유형 추정을 사용하여 $ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ 를 제어함으로써, 존재성에 필요한 충분한 정(regularity)을 확보한다.
• 코르테웨그 텐서를 $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) = \kappa \, \mathrm{div}(\rho D(\nabla \ln \rho)) $ 로 재구성하여 점성 유사한 구조를 드러낸다.
• 재정의된 해와 진동 결함 측도 이론을 적용하여 압력 항 $ a\rho^\gamma $ 에서 극한을 취함으로써 약한 해 수렴을 보장한다.
• 비임계 초깃값을 $ B^{0}_{N+\epsilon,\infty} \times \dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty} $ 에 두어 폭발 기준을 설정하고, 존재 시간 $ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코르테웨그 체계에서 컴팩트니와 정(regularity) 추정을 향상시키기 위해 새로운 효과적 속도 변수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 코르테웨그 텐서를 어떻게 재표현할 수 있는가? 이를 통해 에너지 및 엔트로피 추정에 도움이 되는 점성 구조를 드러내는가?
• RQ3 압력 항의 강한 컴팩트니를 확보하기 위해 밀도 $ \rho $ 에 대해 유도할 수 있는 새로운 엔트로피 추정은 무엇인가?
• RQ4 베소프 공간 정(regularity)과 비임계 초깃값을 활용하여 코르테웨그 체계의 프로디-세르린 폭발 기준을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ5 새로운 엔트로피 구조는 캐필라리티 유체 모델에서 전역 약한 해 존재성에 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 저자들은 비임계 베소프 공간에서 일반적인 초깃값 조건 하에 $ \kappa(\rho) = \kappa \rho^\alpha $, $ \alpha > 0 $ 인 코르테웨그 체계에 대해 전역 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 운동량 방정식을 분리하고 $ u $ 및 $ \ln \rho $ 에 대한 더 강력한 추정을 가능하게 하는 새로운 효과적 속도 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $ 가 도입된다.
• 코르테웨그 텐서는 $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) $ 로 재작성되어 점성 유사한 구조를 드러내며, 에너지 추정에 유리하다.
• $ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ 과 $ u \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ 가 성립함을 보여, 폭발 기준에 핵심적인 정(regularity)을 확보한다.
• 새로운 프로디-세르린 형식의 폭발 기준이 증명된다: $ u_0 \in B^{0}_{N+\epsilon,\infty} $ 이고 $ \ln \rho_0 \in B^{1}_{N+\epsilon,\infty} $ 이면, 해는 전역적으로 존재하며 $ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $ 를 만족한다.
• 이 방법은 이전 결과보다 개선되었으며, $ \rho \in L^2_{\text{loc}} $ 와 같은 가정을 피하고, 대신 로그 밀도 정(regularity)과 임계 베소프 공간에서의 파라프로덕트 추정에 의존한다.