[논문 리뷰] New foundations for geometry

Shai Haran|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기존의 링 대신 'F-링'—세미링과 모노이드에서 구성된 일반화된 링—을 사용하여 산술기하학의 기초 문제를 해결하는 새로운 대수적 프레임워크를 제안한다. 이는 전통적인 링 이론에서 발생하는 덧셈의 비가역성과 취소 불가능성 문제를 해결하고, 텐서곱에 의한 산술 평면의 붕괴 문제를 해결함으로써 수론에서 기하학적 직관을 복원한다. 핵심 기여는 덧셈을 기본 연산으로 포함하지 않는 새로운 기하학적 언어를 개발한 것이다.

ABSTRACT

We shall describe a simple generalization of commutative rings. The category GR of such "rings", contains the ordinary commutative rings (fully faithfully), but also the "integers" and "residue field" at a real or complex place of a field ; the "field with one element" (the initial object of GR ); the "arithmetical surface" ( the sum in the category GR of the integers with them self: Z(x)Z ) . We shall show that this geometry "see" the real and complex places of a number field (there is an Ostrowski theorem that the valuation sub-GR of a number field correspond to the finite and infinite primes; there is a compactification of the spectrum of the integers ). One can develop algebraic geometry using GR following Grothendieck paradigm . Quillen's homotopical algebra replaces homological algebra . There is an analogue of Quillen's cotangent bundle - in particular there is a theory of non-additive derivations, with modules of Kahler differentials which satisfy all the usual exact sequences - we compute explicitly the differentials of the integers Z over the initial object F1 . Finally we associate with any topological compact valuation GR a meromorphic function - its "zeta" : for the p-adic integers we get the p-local factor of zeta, for the "real integers" we get the gamma factor.

연구 동기 및 목표

• 산술기하학의 기초 문제를 해결하기 위해 Z와 Z의 텐서곱이 Z로 붕괴되어 평면의 기하학적 개념이 사라지는 현상을 해결한다.
• 공통의 링 대신 비가환 대수적 구조를 사용하여 '원소 한 개의 체'(F₁) 위에서 대수기하학을 재구성한다.
• 덧셈을 기본 연산으로 포함하지 않음으로써 수론에서의 기하학적 직관을 복원하고, 수의 링과 함수 링 간의 유사성 붕괴 문제를 해결한다.
• 덧셈의 역원이 존재하지 않는 상황에서도 기하학적으로 의미 있는 행동을 보이는 일반화된 링 위에서 스킴, 층, 벡터 번들의 새로운 이론을 개발한다.
• p-진 및 아르키메데스 측도를 포함하는 적분 공식을 통해 제타 함수와 L-함수의 새로운 기초를 제공한다.

제안 방법

• 세미링과 모노이드에서 구성된 'F-링'을 도입하여 덧셈이 가역적이거나 심지어 취소 가능성까지 필요로 하지 않도록 하여 비가환 대수기하학을 가능하게 한다.
• F-링에 대해 스펙트럼, 아이디얼, 국소화, 구조 층을 정의함으로써 그로텐디크의 스킴 이론을 비가환 맥락으로 일반화한다.
• F-링 위의 인볼루션 구조를 통해 대칭 기하학을 개발하고, 인볼루션을 가진 스킴과 같은 새로운 기하학적 대상(예: 컴actsified Spec Z)을 가능하게 한다.
• 프로-스킴과 코어스프링을 사용하여 산술 스킴의 컴팩티피케이션을 구성하며, 정수의 컴팩티피케이션된 스펙트럼을 포함한다.
• Q_p^n의 구면에서 '베타 측도'를 통한 p-진 및 아르키메데스 적분을 적용하여 제타 함수의 요소와 국소 L-요소를 도출한다.
• p-진 및 아르키메데스 적분에 대한 적분 항등식을 유도하며, |x·y|_p^{s-1} 및 |x_1 + ... + x_n|_p^{s-1}을 포함한 표현을 한계 과정을 통해 제타 함수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술기하학을 링의 덧셈 구조에 의존하지 않고 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 직관을 수론에서 복원할 수 있는 '원소 한 개의 체'(F₁)에 대한 올바른 대수적 기초는 무엇인가?
• RQ3 Z와 Z의 텐서곱이 Z로 붕괴되는 이유는 무엇이며, 이를 기하학적으로 의미 있는 방식으로 피할 수 있는가?
• RQ4 제타 함수와 L-함수는 p-진 및 아르키메데스 측도를 포함하는 기하학적 적분 공식으로 유도될 수 있는가?
• RQ5 F-링 위의 대칭 아이디얼과 인볼루션 구조는 어떻게 인볼루션을 가진 스킴과 같은 새로운 기하학적 대상을 이끌어내는가?

주요 결과

• Z와 Z의 텐서곱이 Z로 붕괴됨을 보여주어, 기존의 가환 링 이론이 산술 평면의 기하학적 개념을 포착하지 못한다는 것을 입증한다.
• 산술 평면은 F(N) ⊗_F F(N)로 재구성되며, F(N)은 N 위의 자유 F-링이므로, 대각선이 아닌 비자명한 두 차원 대상이 된다.
• 정수의 컴팩티피케이션된 스펙트럼인 overline{spec Z}는 역극한을 사용한 프로-스킴으로 구성되며 기하학적 컴팩티피케이션을 제공한다.
• 모든 p ≥ η(실수 자리의 경우 p = η 포함)에 대해 Q_p 위의 정규화된 합 측도 φ_p^N(dx)의 극한은 p = η일 경우 가우시안, p ≠ η일 경우 하어르 측도로 수렴하며, 이는 국소 제타 요소와 연결된다.
• 국소 제타 요소 ζ_p(s)/ζ_p(1)는 ∫ |x_1 + ... + x_N|_p^{s-1} dσ_p^N(dx)의 극한으로 복원되며, 오일러 요소의 기하학적 유도를 제공한다.
• 베타 적분 공식 ∫_{S_p^n} |x_1|_p^{α_1-1}...|x_n|_p^{α_n-1} dσ_p^n(dx) = B_p(α_1,…,α_n)이 확립되며, 이 측도는 Z_p^*-작용에 대해 불변이며 P^{n-1}(Q_p) 위의 확률 측도로 해석할 수 있다.