[논문 리뷰] New general integral inequalities for some GA-convex and quasi-geometrically convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 11.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만-리오빌 분수적 적분에 대한 새로운 항등식을 제안하고, GA-s-볼록, 준지오메트릭 볼록, 그리고 (s,m)-GA-볼록 함수에 대해 일반화된 적분 부등식을 수립한다. 이 항등식과 분수적 미적분학의 성질을 활용하여, 헤르미트-하담르드, 오스트로프스키, 심슨 유형의 부등식에 대한 새로운 경계를 도출함으로써, 분수적 적분을 통해 일반화된 볼록 함수의 범주로 고전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, the author introduces the concept of the quasi-geometrically convex and defines a new identity for fractional integrals. By using of this identity, author obtains new estimates on generalization of Hadamard, Ostrowski and Simpson type inequalities for GA-s-convex, quasi-geometrically convex and (s,m)-GA-convex functions via Riemann Liouville fractional integral.

연구 동기 및 목표

• 로그함수와 지수변환을 포함한 분수적 적분에 대한 새로운 항등식을 도입하기.
• 고전적인 헤르미트-하담르드, 오스트로프스키, 심슨 부등식을 GA-볼록성 및 준지오메트릭 볼록성 성질을 갖는 함수로 확장하기.
• Riemann-Liouville 분수적 적분을 사용하여 (s,m)-GA-볼록성을 만족하는 함수에 대해 이러한 부등식을 일반화하기.
• 도함수에 대한 p-노름 조건이 성립할 때 적분 근사의 날카운 오차 경계를 제공하기.
• 특수한 볼록 함수 클래스에 대한 기존의 분수적 적분 부등식 결과들을 통합하고 확장하기.

제안 방법

• 로그함수의 거듭제곱과 $ f \circ \exp $의 분수적 적분을 포함하는 새로운 함수 표현 $ I_f(x, \lambda, \alpha, a, b) $ 를 정의하기.
• 로그함수 변환을 적용한 Riemann-Liouville 분수적 적분 연산자 $ J_{a^+}^\alpha $ 와 $ J_{b^-}^\alpha $ 를 사용하기.
• 거듭제곱 평균 부등식과 헬더 부등식을 적용하여 적분 평균과 함수 값 간의 차이를 경계하기.
• 표준 볼록성의 일반화로써 준지오메트릭 볼록 함수와 (s,m)-GA-볼록 함수의 개념을 도입하기.
• 도함수 $ |f'(x)|^q \leq M $ 또는 $ |f'(x)|^q \leq C $ 라는 조건 하에, 새로운 항등식과 함께 부등식을 유도하기.
• 원래 부등식을 $ u = \exp(t) $ 를 통해 로그 도메인으로 변환함으로써, 분수적 미적분 기법의 적용 가능성을 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 적분을 활용하여 GA-s-볼록 함수에 대해 헤르미트-하담르드 유형의 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함수의 도함수가 $ L^q $-노름에서 유계일 때, 오스트로프스키 유형의 부등식에 대해 최적의 경계는 무엇인가?
• RQ3 분수적 적분을 통해 심슨 유형의 부등식은 준지오메트릭 볼록성 및 (s,m)-GA-볼록성 성질을 갖는 함수로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 가중 평균과 분수적 적분 근사 간의 균형을 맞추는 데에 매개수 $ \lambda \in [0,1] $ 가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 로그함수와 거듭제곱 가중 볼록성을 갖는 함수의 분수적 적분 근사에 대해 날카운 오차 추정치를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• GA-s-볼록 및 준지오메트릭 볼록 함수에 대해 일반화된 부등식을 도출할 수 있도록, 분수적 적분에 대한 새로운 항등식이 수립되었다.
• GA-볼록 함수에 대해 $ \alpha > 0 $ 일 때 다음 부등식이 성립한다: $$ f(\sqrt{ab}) \leq \frac{\Gamma(\alpha+1)}{2(\ln \frac{b}{a})^\alpha} \left[ J_{(\ln a)^+}^\alpha (f \circ \exp)(\ln b) + J_{(\ln b)^-}^\alpha (f \circ \exp)(\ln a) \right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} $$
• $ \lambda = \frac{1}{3} $ 일 때, 심슨 유형의 오차 경계는 $ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} A_1^{1-1/q}(\alpha, \frac{1}{3}) \left( \cdots \right) $ 로 표현되며, $ C_i $ 계수에 명시적인 의존성을 보인다.
• $ \lambda = 0 $ 일 때, 오스트로프스키 유형의 경계는 $ \leq \frac{mM}{(\alpha+1)^{1-1/q}} \left[ a^m (\ln \frac{x}{a})^{\alpha+1} (C_1 + m C_2)^{1/q} + b^m (\ln \frac{b}{x})^{\alpha+1} (C_3 + m C_4)^{1/q} \right] $ 로 변형된다.
• $ \lambda = 1 $ 일 때, 경계는 $ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} \left( \frac{\alpha}{\alpha+1} \right)^{1-1/q} \left( \cdots \right) $ 로 표현되며, $ \alpha $ 가 클수록 수렴성이 향상됨을 보여준다.
• 결과들은 고전적 부등식을 일반화하며, 도함수의 $ L^q $-적분 가능성 조건 하에서 더 날카운 경계를 제공하는 분수적 순서 설정으로 확장된다.