[논문 리뷰] New inversion methods for the single/multi-shape CLD-to-PSD problem with spheroid particles

Lucas Brivadis, Ludovic Sacchelli|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 15.

Groundwater flow and contamination studies참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 구형 입자를 포함한 결정화 공정에서 현탁 입자 크기 분포(PSD)를 현수선 길이 분포(CLD)로부터 재구성하기 위한 새로운 역방향 방법을 제안한다. 단일 형상 시스템의 경우, 불안정한 역문제를 안정화하기 위해 티코노프 정규화를 적용하고, 구형과 길쭉한 구형체로 구성된 다중 형상 시스템의 경우, 배치 결정화 모델 하에서 수렴성이 입증된 백앤드포워드 뉴징(BFN) 관측기 기반 알고리즘을 도입하여 공유되는 CLD 측정값으로부터 강건한 PSD 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we express the Chord Length Distribution (CLD) measure associated to a given Particle Size Distribution (PSD) when particles are modeled as suspended spheroids in a reactor. Using this approach, we propose two methods to reconstruct the unknown PSD from its CLD. In the single-shape case where all spheroids have the same shape, a Tikhonov regularization procedure is implemented. In the multi-shape case, the measured CLD mixes the contribution of the PSD associated to each shape. Then, an evolution model for a batch crystallization process allows to introduce a Back and Forth Nudging (BFN) algorithm, based on dynamical observers. We prove the convergence of this method when crystals are split into two clusters: spheres and elongated spheroids. These methods are illustrated with numerical simulations.

연구 동기 및 목표

• 비구형 입자, 특히 구형체일 경우, 입자 크기 분포(PSD)를 현수선 길이 분포(CLD)로부터 정확하게 재구성하는 데 도전하는 것.
• 측정 노이즈에 강건한 PSD 복원을 보장하기 위해, 동일한 형상의 결정화에서 불안정한 역문제를 해결하기 위해 티코노프 정규화를 적용하는 것.
• 공유되는 CLD 측정값을 통해 서로 다른 형상을 가진 입자(예: 구형체와 길쭉한 구형체)를 포함하는 다중 형상 시스템에서 새로운 관측기 기반 방법을 개발하는 것.
• 배치 결정화 프레임워크 내에서 두 군집의 입자 형상(예: 구형체(형상 매개수 η=1)와 길쭉한 구형체(η>1))에 대해 백앤드포워드 뉴징(BFN) 알고리즘의 수렴성을 증명하는 것.
• 입자 형상 다양성을 고려한 CLD-PSD 역방향 문제의 이론적 및 수치적 기반을 제공하여 산업적 결정화 공정 제어를 향상시키는 것.

제안 방법

• 균일한 정렬 분포 하에서 3차원 기하학과 무작위 현수선 선택을 이용해 구형체 입자의 PSD에서 CLD를 계산하는 새로운 분석 모델을 유도한다.
• 단일 형상의 구형체에 대해 PSD와 CLD 사이의 일대일 사상 관계를 수립하여 역문제의 수식화를 가능하게 한다.
• 단일 형상 케이스에서 역해를 안정화하기 위해 티코노프 정규화를 적용하여 측정 노이즈에 대한 민감도를 감소시킨다.
• 다중 형상 시스템에서 단일 공유 CLD를 통해 다중 PSD를 추정하기 위해 백앤드포워드 뉴징(BFN) 알고리즘을 기반으로 한 동적 관측기 프레임워크를 도입한다.
• 관측기 설계를 위한 시간적 일致성과 수렴성을 확보하기 위해, 배치 결정화 진화 모델을 활용한다.
• H² 정규성과 경계 조건 하에서 두 군집 시스템(구형체(형상 매개수 η=1)와 길쭉한 구형체(η>1))에 대해 BFN 알고리즘의 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 형상이 비구형일 경우, 정규화 기법을 사용하여 구형체 입자를 고려한 CLD에서 PSD로의 안정적이고 정확한 역방향 재구성이 가능할 수 있는가?
• RQ2 모든 입자가 동일한 구형체 형상일 경우, 측정 노이즈가 존재하는 상황에서도 역문제를 어떻게 강건하게 해결할 수 있는가?
• RQ3 반응기 내 입자가 서로 다른 형상(예: 구형체와 길쭉한 구형체)을 가질 경우, 단일 혼합 CLD 측정값으로부터 다수의 서로 다른 PSD를 추정할 수 있는가?
• RQ4 백앤드포워드 뉴징(BFN)과 같은 동적 관측기 기반 방법이, 배치 결정화 환경에서 다중 형상 CLD에서 PSD로의 역방향 문제에 대해 이론적으로 수렴성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 입자 형상이 상이하고 CLD 측정값이 공유될 경우, 재구성된 PSD의 유일성과 안정성을 보장하는 데 필요한 수학적 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 단일 형상의 구형체 입자에 대해 PSD에서 CLD로의 사상은 일대일 관계를 가지며, 이는 유일한 역방향 재구성 가능성을 검증한다.
• 티코노프 정규화는 단일 형상 케이스에서 역해를 효과적으로 안정화시켜 측정 노이즈에 대한 민감도를 감소시킨다.
• 입자가 두 군집(구형체와 길쭉한 구형체)으로 분리된 다중 형상 케이스에서 BFN 관측기 알고리즘이 진짜 PSD로 수렴함을 확인한다.
• H² 정규성과 경계 조건 하에서 수렴성이 증명되었으며, 이 증명은 운반 방정정의 스펙트럼 분석과 푸리에 계수의 수직성에 기반한다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 결과를 확인하며, 단일 형상 및 다중 형상 케이스 모두에서 정확한 PSD 재구성을 보여준다.
• 이 방법은 입자 형상이 다형적일 경우에도 FBRM 또는 BlazeMetrics 유사 CLD 측정값으로부터 신뢰할 수 있는 PSD 추정을 가능하게 한다.