[논문 리뷰] New Quantum Algorithms for Computing Quantum Entropies and Distances

Qisheng Wang, Ji Guan외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 96인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 밀도 연산자에 대해 양자 특이값 변환(QSVT)을 확장하여 양자 엔트로피 및 거리(예: 바나흐-반 뉴만 엔트로피, 트레이스 거리, 피델리티)를 계산하는 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘들은 저랭크 영역에서 지수적 속도 향상을 달성하며, 각각 $\tilde{O}(r^2/\varepsilon^2)$, $\tilde{O}(r^5/\varepsilon^6)$, $\tilde{O}(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$의 시간 복잡도를 가지며, 이는 이전 방법들이 요구하는 $\Omega(N)$ 또는 그 이상의 쿼리 복잡도보다 크게 뛰어나다.

ABSTRACT

We propose a series of quantum algorithms for computing a wide range of quantum entropies and distances, including the von Neumann entropy, quantum Rényi entropy, trace distance, and fidelity. The proposed algorithms significantly outperform the prior best (and even quantum) ones in the low-rank case, some of which achieve exponential speedups. In particular, for $N$-dimensional quantum states of rank $r$, our proposed quantum algorithms for computing the von Neumann entropy, trace distance and fidelity within additive error $\varepsilon$ have time complexity of $ ilde O(r/\varepsilon^2)$, $ ilde O(r^5/\varepsilon^6)$ and $ ilde O(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$, respectively. By contrast, prior quantum algorithms for the von Neumann entropy and trace distance usually have time complexity $Ω(N)$, and the prior best one for fidelity has time complexity $ ilde O(r^{12.5}/\varepsilon^{13.5})$. The key idea of our quantum algorithms is to extend block-encoding from unitary operators in previous work to quantum states (i.e., density operators). It is realized by developing several convenient techniques to manipulate quantum states and extract information from them. The advantage of our techniques over the existing methods is that no restrictions on density operators are required; in sharp contrast, the previous methods usually require a lower bound on the minimal non-zero eigenvalue of density operators.

연구 동기 및 목표

• 바나흐-반 뉴만 엔트로피, 트레이스 거리, 피델리티와 같은 기본 양자 정보 측정치를 계산하기 위한 효율적인 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 밀도 연산자의 비영인 고유값에 하한이 필요로 하는 이전 양자 알고리즘의 한계를 극복하는 것.
• 양자 특이값 변환(QSVT) 프레임워크를 유니터리 연산자에서 밀도 연산자(혼합 양자 상태)로 확장하는 것.
• 밀도 연산자 및 그 비정수 거듭제곱에 대한 일반적이고 고유값에 의존하지 않는 변환 기법을 제공하는 것.
• 피델리티 및 트레이스 거리에 대한 다항로그 시간 알고리즘이 존재할 경우 $\mathsf{BQP} = \mathsf{QSZK}$가 성립함을 보여주는 하한을 설정하여 본질적인 양자 난이도를 규명하는 것.

제안 방법

• 핵심 방법은 하위정규화된 밀도 연산자의 고유값 변환 및 그 비정수 양의 거듭제곱에 대한 기법을 개발하여 QSVT를 밀도 연산자로 확장하는 것이다.
• 밀도 연산자에 대한 QSVT를 이용한 새로운 고유값 변환 프로토콜을 도입하여, 엔트로피에 대한 $f(\lambda) = \lambda \log \lambda$ 및 트레이스 거리에 대한 $f(\lambda) = \sqrt{1 - \lambda^2}$와 같은 함수의 효율적 계산을 가능하게 한다.
• 밀도 연산자의 순수화된 양자 쿼리 액세스를 통해 효율적인 상태 준비 및 제어 연산을 허용하는 방법을 사용한다.
• 핵심 기술 구성 요소로는 추적 추정, 밀도 연산자의 선형 조합, 하위정규화된 상태를 위한 고유값 임계값 프로젝터가 포함된다.
• 이전 방법들과 달리 최소 비영인 고유값에 대한 가정이 필요 없어, 저랭크 및 특이 밀도 행렬에 적용 가능하다.
• 오차는 진폭 추정 및 위상 추정을 통해 제어되며, 블록 인코딩 기법을 밀도 연산자에 적응시켜 시간 복잡도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 연산자의 고유값에 하한이 필요로 하지 않고도 저랭크 양자 상태에 대해 양자 엔트로피 및 거리에 대한 효율적 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ2 양자 특이값 변환(QSVT) 프레임워크를 밀도 연산자로 확장하여 혼합 상태에서 고유값 함수 평가를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 저랭크 영역에서 바나흐-반 뉴만 엔트로피, 트레이스 거리, 피델리티를 추정하는 데 있어 최적의 쿼리 및 게이트 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 제안된 알고리즘은 저랭크 상태에서 알려진 양자 및 고전적 방법보다 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ5 피델리티 및 트레이스 거리 추정에 대한 양자 알고리즘의 본질적 한계는 무엇이며, 이는 BQP 및 QSZK와 같은 복잡도 클래스와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 제안된 바나흐-반 뉴만 엔트로피에 대한 양자 알고리즘은 $\tilde{O}(r^2/\varepsilon^2)$의 시간 복잡도를 달성하며, 이는 이전 방법이 $\Omega(N)$ 쿼리가 필요로 하는 것에 비해 지수적 향상이다.
• 트레이스 거리 알고리즘은 $\tilde{O}(r^5/\varepsilon^6)$의 시간 복잡도로 실행되며, 기존에 알려진 최고의 양자 알고리즘보다 $\tilde{O}(r^{21.5}/\varepsilon^{23.5})$의 복잡도를 크게 향상시킨다.
• 피델리티 추정 알고리즘은 $\tilde{O}(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$의 시간 복잡도를 달성하여 저랭크 영역에서 이전 방법보다 뛰어나다.
• 이 알고리즘들은 고유값에 의존하지 않으며, 밀도 연산자의 최소 비영인 고유값에 하한이 필요로 하지 않아 이전 접근과는 다릅니다.
• 하한 분석을 통해, 피델리티 또는 트레이스 거리를 $\operatorname{poly}(\log r, 1/\varepsilon)$ 시간 내에 계산하는 알고리즘은 $\mathsf{BQP} = \mathsf{QSZK}$를 의미하며, 강력한 양자 난이도를 시사한다.
• 피델리티 및 트레이스 거리 추정 문제는 순수 상태일 경우조차 $\mathsf{DQC1}$-난이도임이 입증되었으며, 이는 효율적인 고전적 시뮬레이션이 가능하지 않다는 것을 시사한다.