[논문 리뷰] Variational Quantum Algorithms for Trace Distance and Fidelity Estimation

Ranyiliu Chen, Zhixin Song외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 97인용 수 62

한 줄 요약

이 논문은 근접된 양자 장치에서 입력 상태에 대한 사전 가정 없이 추적 거리와 양자 허상도를 추정하기 위한 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 변분 추적 거리 추정(VTDE)과 변분 충실도 추정(VFE)을 제안한다. VTDE는 단일 보조 큐비트와 국소 측정을 사용하여 유니터리 최적화를 통해 추적 노름을 추정하며, 비어 있는 평탄대를 피한다; VFE는 울라만의 정리와 상태 순수화를 활용하여 충실도 추정을 유니터리 최적화 문제로 환원하며, 수치적 및 IBM 초전도 양자 장치에서의 실험을 통해 혼합 상태에 대해 높은 정확도로 검증된다.

ABSTRACT

Estimating the difference between quantum data is crucial in quantum computing. However, as typical characterizations of quantum data similarity, the trace distance and quantum fidelity are believed to be exponentially-hard to evaluate in general. In this work, we introduce hybrid quantum-classical algorithms for these two distance measures on near-term quantum devices where no assumption of input state is required. First, we introduce the Variational Trace Distance Estimation (VTDE) algorithm. We in particular provide the technique to extract the desired spectrum information of any Hermitian matrix by local measurement. A novel variational algorithm for trace distance estimation is then derived from this technique, with the assistance of a single ancillary qubit. Notably, VTDE could avoid the barren plateau issue with logarithmic depth circuits due to a local cost function. Second, we introduce the Variational Fidelity Estimation (VFE) algorithm. We combine Uhlmann's theorem and the freedom in purification to translate the estimation task into an optimization problem over a unitary on an ancillary system with fixed purified inputs. We then provide a purification subroutine to complete the translation. Both algorithms are verified by numerical simulations and experimental implementations, exhibiting high accuracy for randomly generated mixed states.

연구 동기 및 목표

• 근접된 NISQ 장치에서 일반적인 양자 상태 간의 추적 거리와 충실도를 추정하기 위한 실용적인 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 혼합 상태에 대한 추적 거리와 충실도 추정의 지수적 고전적 난이도와 양자 복잡도를 극복하기 위해.
• VTDE에서 국소 비용 함수를 사용하여 변분 양자 알고리즘의 비어 있는 평탄대 문제를 방지하기 위해.
• 울라만의 정리와 순수화 서브루틴을 활용하여 임의의 혼합 상태에 대한 충실도 추정을 가능하게 하기 위해.
• IBM 초전도 양자 장치에서의 수치 시뮬레이션과 실험적 구현을 통해 높은 정확도의 추정을 보여주기 위해.

제안 방법

• VTDE는 보조 큐비트에 작용하는 유니터리에 대한 최적화를 통해 헤르미트 행렬 H의 추적 노름을 추정하며, 국소 측정을 통해 스펙트럼 정보를 추출한다.
• 알고리즘은 단일 큐비트 기대값에 기반한 비용 함수를 사용하여 로그-깊이 회로를 보장하고 비어 있는 평탄대를 피한다.
• VFE의 경우, 순수화의 자유도와 울라만의 정리를 활용하여 보조 시스템에 대한 유니터리 최적화 문제로 충실도를 추정한다.
• 미지의 혼합 상태의 순수화를 NISQ 장치에서 준비하기 위한 순수화 서브루틴이 도입되었으며, 낮은 질량의 상태에 대해서는 몇 개의 보조 큐비트만으로도 충분하다.
• 알고리즘은 U3 및 CNOT 게이트를 사용한 파라미터화된 양자 회로(PQC)로 구현되어 분석적 방법을 통한 효율적 기울기 계산을 가능하게 한다.
• 수치적 및 실험적 검증은 IBM의 초전도 양자 프로세서를 사용하여 임의의 혼합 상태에 대해 수행되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근접된 양자 장치에서 입력 상태에 대한 사전 가정 없이 두 개의 알려지지 않은 일반 양자 상태 간의 추적 거리를 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ2 단일 보조 큐비트와 국소 측정만을 사용하여 헤르미트 행렬의 추적 노름을 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 임의의 혼합 상태에 대한 충실도 추정을 보조 시스템에 대한 유니터리에 대한 변분 최적화 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ4 변분 양자 알고리즘 맥락에서 혼합 상태의 상태 순수화에 대한 자원 비용은 얼마인가?
• RQ5 제안된 VTDE 알고리즘이 국소 비용 함수 덕분에 얕은 회로에서 비어 있는 평탄대 문제를 피할 수 있는가?

주요 결과

• VTDE는 ρ − σ의 양의 고유값 수 k가 진짜 값과 다를 경우에도 안정적인 성능을 보이며, 난이도가 높은 방법은 k가 진짜 값과 다를 경우 심각하게 악화된다.
• 단순한 VTDE 알고리즘(nVTDE)은 O(k)의 최적화 라운드와 k개의 계산 기저 상태가 필요하여, 특히 k = 2^n − 1인 최악의 경우에 매우 비효율적이다.
• 순수 상태의 경우, ρ − σ는 최대 하나의 양의 고유값을 가지므로 VTDE는 단일 랭크-1 프로젝터만을 사용하여 자원 비용을 크게 줄일 수 있다.
• VFE 알고리즘은 울라만의 정리와 순수화의 자유도를 활용하여 충실도 추정을 보조 시스템에 대한 유니터리 최적화 문제로 변환한다.
• 수치 시뮬레이션과 IBM의 초전도 장치에서의 실험적 구현을 통해 임의로 생성된 혼합 상태에 대해 VTDE와 VFE 모두가 높은 정확도를 확보하였다.
• 입력 상태가 낮은 질량일 경우 순수화 서브루틴은 소수의 보조 큐비트만을 요구하므로, 실용적 응용에 대해 확장 가능하다.