[논문 리뷰] New way of second quantized theory of fermions with either Clifford or Grassmann coordinates and spin-charge-family theory

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 13.

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한 줄 요약

이 논문은 클리포드 또는 그라스만 좌표를 사용하여 페르미온에 대한 새로운 제2량자동역학 프레임워크를 제안하며, 클리포드 공간 내에서 노르말리티와 프로젝터 원소로부터 구성된 생성 및 소멸 연산자가 자연스럽게 페르미온의 반대칭 관계를 만족함을 보여준다. 핵심 결과는 클리포드 공간 내 1-페르미온 상태가 본질적으로 제2량동역학화되어 있으며, 음의 에너지 상태가 필요로 하지 않다는 것이다. 반면 그라스만 공간은 정수 스핀 '페르미온'을 생성하여 가족을 기술하지 못한다.

ABSTRACT

Fermions with the internal degrees of freedom described in Clifford space carry in any dimension a half integer spin. There are two kinds of spins in Clifford space. The spin-charge-family theory,assuming even d=13+1, uses one kind of spins to describe in d=3+1 spins and charges of quarks and leptons and antiquarks and antileptons, while the other kind is used to describe families. The new way of second quantization, suggested by the spin-charge-family theory, is presented. It is shown that the creation and annihilation operators of 1-fermion states, written as products of nilpotents and projectors of an odd Clifford character, fulfill the anticommutation relations as required in the second quantization procedure for fermions: 1-fermion states are in Clifford space already second quantized, the creation operators for any n-fermion second quantized vectors are products of one fermion creation operators, operating on the empty vacuum state. It is demonstrated that also in Grassmann space there exist the creation and annihilation operators of an odd Grassmann character, generating "fermions", which fulfill as well the anticommutation relations for fermions, representing correspondingly the second quantized 1-"fermion" states, in this case with integer spins. Grassmann space offers no families. We discuss the new second quantization procedure of the fields in both spaces. For the Grassmann case we present the action, basic states, solutions of the Weyl equation for free massless "fermions" and discrete symmetry operators. A short overview of the achievements of the spin-charge-family theory is done, and open problems of this theory still waiting to be solved are presented. The Grassmann and the Clifford case are compared in order to better understand open questions in physics of elementary fermion and boson fields and in cosmology.

연구 동기 및 목표

• 음의 에너지 상태에 의존하지 않고 클리포드 및 그라스만 대수를 사용하여 페르미온에 대한 새로운 제2량동역학 절차를 개발한다.
• 스핀-전하-가족 이론을 통해 고차원 프레임워크(d=(13+1))에서 스핀, 전하, 가족의 구조를 통합한다.
• 표준 양자장론에서 가정되는 생성 및 소멸 연산자의 기원을 설명한다.
• 스핀 통계 및 가족 구조 측면에서 클리포드 공간과 그라스만 공간의 물리적 내용을 비교한다.
• 물질-반물질 비대칭성 및 게이지 및 힉스 장의 기원을 포함한 표준모델을 초월한 물리학의 열린 문제들을 다룬다.

제안 방법

• 기본 차수의 클리포드 대수의 노르말리티 및 프로젝터 원소의 곱으로 생성 및 소멸 연산자를 구성한다.
• 이 연산자가 페르미온의 표준 반대칭 관계를 만족함을 보이며, 1-페르미온 상태가 본질적으로 제2량동역학화되어 있음을 증명한다.
• 클리포드 공간의 로렌츠 생성자로 반정수 스핀을 정의하고, 그라스만 대상은 정수 스핀을 유도한다.
• 그라스만 공간에서 장 작용을 구성하고, 질량이 없는 '페르미온'에 대한 와일 유사 방정식의 해를 유도하며, 이산 대칭 연산자를 정의한다.
• 스핀-전하-가족 이론을 d=(13+1) 시공간에 적용하여, 자발적 대칭 깨짐이 저에너지 (3+1)-차원 물리학을 유도함을 보인다.
• 클리포드 대수의 이중 구조(두 종류의 생성자)를 활용하여 쿼크, 렙톤 및 그들의 가족을 서로 다른 스핀 유형으로 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리포드 공간의 대수적 구조에서 음의 에너지 상태를 도입하지 않고도 페르미온의 제2량동역학을 유도할 수 있는가?
• RQ2 그라스만 좌표는 클리포드 좌표와 비교하여 페르미온 통계 및 물리적 상태를 어떻게 생성하는가?
• RQ3 클리포드 공간 내 두 가지 다른 스핀 유형이 쿼크, 렙톤 및 그들의 가족을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 d=(13+1)에서의 스핀-전하-가족 이론은 어떻게 관측된 게이지 대칭, 힉스 메커니즘, 물질-반물질 비대칭성을 d=(3+1)에서 재현하는가?
• RQ5 그라스만 공간 내부의 스핀 구조는 어떤 의미를 가지며, 특히 정수 스핀 성질과 가족 생성의 부재는 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 기본 차수의 클리포드 대수 원소로부터 구성된 생성 및 소멸 연산자는 표준 반대칭 관계를 만족하며, 클리포드 공간 내 1-페르미온 상태가 이미 제2량동역학화되어 있음을 증명한다.
• 이 이론은 음의 에너지 상태가 필요로 하지 않으며, 상대론적 양자장론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 그라스만 공간에서는 기저가 홀수인 그라스만 성질의 연산자가 페르미온 반대칭 관계를 만족하는 상태를 생성하지만, 내부 스핀은 정수 스핀이지 반정수 스핀이 아니다.
• d=(13+1)에서 두 종류의 클리포드 대수 원소는 한 스핀 유형이 쿼크와 렙톤(전하 및 스핀 포함)을 기술하고, 다른 스핀 유형은 가족을 기술할 수 있도록 한다.
• 스핀-전하-가족 이론은 고차원에서의 자발적 대칭 깨짐을 통해 표준모델의 게이지 군, 힉스 메커니즘, 유크라 다항식 상호작용의 기하학적 기원을 제공한다.
• 이 이론은 물질-반물질 비대칭성을 예측하며, d=(13+1)에서 칼류자-클라인 유사 compactification을 통해 중력과 게이지 및 힉스 장을 통합할 수 있는 프레임워크를 제공한다.