[논문 리뷰] Non-Abelian Anyons and Topological Quantum Computation

Chetan Nayak, Steven H. Simon외 3명|2007. 07. 12.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 anyon을 위상적 양자 홀 상태—특히 $ν=5/2$ 분수 양자 홀 상태—에서 고려하여 고장 내성 양자 계산의 플랫폼으로 제안한다. 비아贝尔 통계를 따르는 준입자들을 교차시키는 것으로, 양자 정보는 국소적 오류에 강건한 비국소적 anyonic 상태에 코딩되며, 양자 게이트가 위상적으로 실현된다. 주요 기여는 위상적 순서, conformal field theory(CFT), 그리고 anyon(예: 피보나치 anyon)을 통한 보편적 양자 계산을 연결하는 이론적 프레임워크를 수립한 데 있다.

ABSTRACT

Topological quantum computation has recently emerged as one of the most exciting approaches to constructing a fault-tolerant quantum computer. The proposal relies on the existence of topological states of matter whose quasiparticle excitations are neither bosons nor fermions, but are particles known as {\it Non-Abelian anyons}, meaning that they obey {\it non-Abelian braiding statistics}. Quantum information is stored in states with multiple quasiparticles, which have a topological degeneracy. The unitary gate operations which are necessary for quantum computation are carried out by braiding quasiparticles, and then measuring the multi-quasiparticle states. The fault-tolerance of a topological quantum computer arises from the non-local encoding of the states of the quasiparticles, which makes them immune to errors caused by local perturbations. To date, the only such topological states thought to have been found in nature are fractional quantum Hall states, most prominently the ν=5/2 state, although several other prospective candidates have been proposed in systems as disparate as ultra-cold atoms in optical lattices and thin film superconductors. In this review article, we describe current research in this field, focusing on the general theoretical concepts of non-Abelian statistics as it relates to topological quantum computation, on understanding non-Abelian quantum Hall states, on proposed experiments to detect non-Abelian anyons, and on proposed architectures for a topological quantum computer. We address both the mathematical underpinnings of topological quantum computation and the physics of the subject using the ν=5/2 fractional quantum Hall state as the archetype of a non-Abelian topological state enabling fault-tolerant quantum computation.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 anyon을 이용한 위상적 양자 계산의 이론적 기초를 확립하기 위해.
• 비아벨 브레인딩 통계가 위상적 degeneracy를 통해 고장 내성 양자 게이트를 어떻게 실현할 수 있는지 설명하기 위해.
• 특히 $ν=5/2$ 분수 양자 홀 상태를 포함한 후보 물리계를 특정하고 분석하여 비아벨 anyon이 존재할 수 있는지 확인하기 위해.
• 위상적 양자 계산을 conformal field theory와 Chern-Simons 효과적 장 이론과 연결하여 수학적 일관성을 확보하기 위해.
• 비아벨 anyon을 탐지하고 스케일러블한 위상적 양자 컴퓨터를 구축하기 위한 실험적 제안을 개략적으로 서술하기 위해.

제안 방법

• 비아벨 anyon의 저에너지 효과적 이론을 기술하기 위해 Chern-Simons 장 이론과 위상적 양자 장 이론(TQFT)을 사용한다.
• 특히 Ising CFT를 적용하여 anyon 브레인딩 통계를 포함하는 다중점 상관 함수를 계산한다.
• 융합 규칙과 F-행렬을 사용하여 anyon 시스템의 힐베르트 공간 구조를 기술하고, 서로 다른 융합 기저 간의 관계를 규명한다.
• Bratteli 다이어그램을 사용하여 conformal block 수를 세고, 다수의 anyon에 대해 힐베르트 공간의 차원을 결정한다.
• CFT의 정점 연산자에서 유도된 파동함수를 사용하여 분수 양자 홀 상태의 파동함수를 유도한다. 예를 들어, 중성 조건 하에서 $\langle e^{i\alpha_i\phi}(z_i)\rangle \propto \prod_{i<j} (z_i - z_j)^{\alpha_i\alpha_j}$.
• 브레인딩에 따른 상관 함수의 단일계속성 변환(monodromy transformation)을 분석하여 유니터리 브레인드 군 표현을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 anyon은 위상적 물질 상태에서 어떻게 나타나며, 그 브레인딩 통계는 무엇인가?
• RQ2 $ν=5/2$ 분수 양자 홀 상태는 비아벨 anyon을 수용할 수 있으며, 이를 실험적으로 어떻게 확인할 수 있는가?
• RQ3 anyon의 브레인딩을 통해 어떻게 위상적 양자 계산을 실현할 수 있으며, 이것이 고장 내성인 이유는 무엇인가?
• RQ4 conformal field theory는 파동함수 구성과 anyon 통계 계산에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 피보나치 anyon과 같은 비아벨 anyon은 브레인딩만으로도 보편적인 양자 게이트 세트를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• $ν=5/2$ 분수 양자 홀 상태는 비아벨 anyon을 수용할 수 있는 주요 후보이며, 특히 Ising 유형의 anyon을 지닌 Moore-Read Pfaffian 상태이다.
• 비아벨 브레인딩 통계는 conformal field theory의 다중점 상관 함수에 의해 코딩되며, 예를 들어 $\langle\sigma(0)\sigma(z)\sigma(1)\sigma(w)\rangle$와 같이 분지 절단과 단일계속성을 나타낸다.
• 특히 $z=1$을 시계방향으로 한 바퀴 도는 동안 상관 함수의 단일계속성은 유니터리 변환 $\begin{pmatrix} a_+ \\ a_- \end{pmatrix} \to e^{2\pi i/8} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_+ \\ a_- \end{pmatrix}$를 유도하며, 이는 비아贝尔 브레인드 행렬을 실현한다.
• 상관 함수의 conformal block 수는 서로 다른 위상적 융합 채널의 수와 일치하며, Bratteli 다이어그램을 통해 세어진다.
• $F$-행렬은 서로 다른 융합 기저 간의 유니터리 변환을 제공하며, 다양한 계산 기저에서 브레인딩 연산을 표현하는 데 필수적이다.
• 피보나치 anyon은 $\mathbb{Z}_3$ Chern-Simons 이론에서 유래하며, 브레인딩만으로도 보편적인 양자 게이트 세트를 제공하여 보편적 위상적 양자 계산을 가능하게 한다.