[논문 리뷰] Non-Archimedean analytic cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆, Ralf Meyer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 분수체의 성질이 0인 완비 이산 평가환환 V 위의 완비이자 토픽이 없는 보른로지컬 대수에 대해 비아르키메데스 해석학적 순환호모로지 이론을 도입한다. 이는 호모토피 불변성, 안정성, 절단성, 영함수 불변성을 확립하며, 매끄러운 1차원 V-대수의 더그 완비화의 해석학적 순환호모로지가 드 라무 호모로지와 일치함을 규명한다. 이는 잔여체의 성질이 양의 특성일 경우 베르텔로의 강성 호모로지와 일致한다.

ABSTRACT

Let $V$ be a complete discrete valuation ring with fraction field $F$ of characteristic zero and with residue field $\mathbb{F}$. We introduce analytic cyclic homology of complete torsion-free bornological algebras over $V$. We prove that it is homotopy invariant, stable, invariant under certain nilpotent extensions, and satisfies excision. We use these properties to compute it for tensor products with dagger completions of Leavitt path algebras. If $R$ is a smooth commutative $V$-algebra of relative dimension $1$, then we identify its analytic cyclic homology with Berthelot's rigid cohomology of $R\otimes_{V}\mathbb{F}$.

연구 동기 및 목표

• 완비 이산 평가환환 V 위의 분수체 성질이 0인 완비이자 토픽이 없는 보른로지컬 대수에 대한 순환호모로지 이론을 개발한다.
• 호모토피 불변성, 안정성, 절단성, 해석적으로 영함수인 확장에 대한 불변성과 같은 기본 성질를 확립한다.
• 가산 그래프의 레비트 및 코언 경로 대수의 더그 완비화의 순환호모로지를 계산한다.
• 매끄럽고 1차원인 V-대수의 더그 완비화의 해석학적 순환호모로지를 드 라무 호모로지와 일치시키며, 잔여체의 특성이 양일 경우 베르텔로의 강성 호모로지와도 일致한다.
• 잔여체 위에서 비가환 호모로지 이론을 구축하기 위해, V 위에서 정의된 이론이 리프트의 선택에 의존하지 않고 F로 내림내림되는 기초를 마련한다.

제안 방법

• R에 관련된 완비 보른로지컬 V-대수의 프로젝티브 시스템 T R을 고려하고, T R ⊗V F의 X-복합체의 호모토피 극한으로 해석학적 순환 프로-복합체 HA(R)를 정의한다.
• 이deal (π)에 대한 더그 완비화를 사용하여, 유한 생성 V-대수 R에 대해 R†와 같은 대수를 정의한다.
• 해석적으로 영함수인 확장과 해석적으로 준자유 프로-대수의 개념을 도입하여 호모토피 불변성을 일반화한다.
• V[t]†를 통한 더그 호모토피를 정의하고, HA가 이러한 호모토피에 대해 불변임을 증명함으로써, 해석적으로 영함수인 확장에 대한 불변성을 유도한다.
• 반분할 프로-대수 확장에 대해 절단 정리를 증명하여 호모로지에서 자연스러운 6항 연속열을 도출한다.
• 이론을 상대 차원 1인 매끄럽고 유한 생성된 가환 V-대수에 적용하며, 그들의 준자유성과 드 라무 호모로지와의 연결을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수체 성질이 0인 완비 이산 평가환환 V 위에서 비아르키메데스 설정에서 해석학적 순환호모로지를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 이론의 호모토피적 및 호모로지적 성질은 무엇인가? 예를 들어, 호모토피에 대한 불변성과 절단성과 같은 성질이다.
• RQ3 이 이론은 경로 대수의 더그 완비화와 V[t,t⁻¹]†와의 텐서곱의 순환호모로지를 계산할 수 있는가?
• RQ4 매끄럽고 1차원인 V-대수의 더그 완비화의 해석학적 순환호모로지가 드 라무 호모로지와 일치하는가?
• RQ5 잔여체의 특성이 양일 경우, 이 이론은 매끄러운 아핀 곡선에 대해 베르텔로의 강성 호모로지를 복원하는가?

주요 결과

• 해석학적 순환호모로지 HA∗(R)는 더그 호모토피와 해석적으로 영함수인 확장에 대해 불변이며, 반분할 확장에 대해 절단성을 만족한다.
• 상대 차원 1인 매끄럽고 유한 생성된 가환 V-대수 R에 대해, HA∗(R†)는 R†의 드 라무 호모로지와 자연스럽게 위상동형이다.
• 잔여체 F의 특성이 양일 경우, 이 위상동형은 A = R/πR의 환원에 대해 베르텔로의 강성 호모로지 H∗_rig(A,F)와 일치한다.
• R† ⊗V V[t,t⁻¹]†의 해석학적 순환호모로지는 HA∗(R) ⊕ HA∗(R)[1]과 위상동형이며, K-이론의 기본 정리의 비가환적 일반화이다.
• 이 이론은 임의의 환원 A = R/πR에 대해 HA∗(A) ≅ HA∗(R†)의 표준적, 선택에 의존하지 않는 위상동형을 제공하여, 강성 호모로지의 비가환적 확장을 가능하게 한다.
• 가산 그래프의 레비트 및 코언 경로 대수의 더그 완비화의 해석학적 순환호모로지는 불변성과 절단성 성질을 통해 계산된다.