[논문 리뷰] Non-Conservative Variational Approximation for Nonlinear Schroedinger Equations

J. M. Rossi, R. Carretero-González외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 27.

Mechanical and Optical Resonators참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비보존적 항을 포함한 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)에 대한 비보존적 변분근사(NCVA)를 제안한다. 이는 갈리의 해밀턴 원리의 초기값 설정을 복잡한 PDE로 확장한 것으로, 무한차원 동역학을 안식수 파arameter에 대한 상미분방정식(ODE)으로 줄여내며, 펌프팅 기반 및 칸토로비치 기반 변분법과 동일한 결과를 도출한다. 선형 및 비선형 손실/증폭이 존재하는 경우, 특히 엑시톤-폴라리톤 응축체에서 NCVA는 전체 NLS 동역학과 강한 일치를 보인다.

ABSTRACT

Recently, Galley [Phys. Rev. Lett. {\bf 110}, 174301 (2013)] proposed an initial value problem formulation of Hamilton's principle applied to non-conservative systems. Here, we explore this formulation for complex partial differential equations of the nonlinear Schrodinger (NLS) type, examining the dynamics of the coherent solitary wave structures of such models by means of a non-conservative variational approximation (NCVA). We compare the formalism of the NCVA to two other variational techniques used in dissipative systems; namely, the perturbed variational approximation and a generalization of the so-called Kantorovich method. All three variational techniques produce equivalent equations of motion for the perturbed NLS models studied herein. We showcase the relevance of the NCVA method by exploring test case examples within the NLS setting including combinations of linear and density dependent loss and gain. We also present an example applied to exciton polariton condensates that intrinsically feature loss and a spatially dependent gain term.

연구 동기 및 목표

• 유한 자유도 ODE에 대해 처음으로 제안된 갈리의 비보존적 변분 설정을 무한차원 복잡한 PDE, 특히 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)으로 확장하기 위해.
• 伝통적 변분법이 보존적 해밀토니안 구조를 요구하는 한계를 해결하기 위해, 소산적 NLS 모델과 같은 비보존적 개방계의 변분 분석을 가능하게 하기 위해.
• 선형 및 밀도에 의존하는 손실과 증폭을 포함한 테스트 케이스를 통해 NCVA 방법을 검증하기 위해, 특히 엑시톤-폴라리톤 응축체와 같이 본질적으로 비보존적인 시스템을 포함하여.
• NCVA가 NLS 프레임워크 내에서 기존의 변분 기법(펌프팅 기반 VA 및 일반화된 칸토로비치 방법)과 동일한 운동 방정식을 도출함을 보여주기 위해.
• 펌프팅 이론이 실패하는 영역, 특히 비보존적 항이 보존적 항과 크기가 유사한 경우에 NCVA의 적용 가능성을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 갈리의 해밀턴 원리의 초기값 설정을 복잡한 비보존적 PDE에 적용하기 위해, 작용 최적화를 경계값 문제에서 초기값 문제로 재정의한다.
• NLS 방정식에 대해 시간에 의존하는 안식수(예: 가우시안 또는 q-가우시안)를 적용하여 PDE를 안식수 파arameter에 대한 상미분방정식(ODE)의 시스템으로 축소한다.
• 비보존적 힘(예: 선형 및 비선형 손실/증가 항)을 포함하는 비보존적 작용 함수를 최적화하여 안식수 파arameter의 운동 방정식을 유도한다.
• NCVA 결과를 펌프팅 기반 변분근사법과 일반화된 칸토로비치 방법과 비교하여, NLS 설정 내에서의 등가성을 입증한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 NCVA가 전체 NLS 해와의 일치를 검증하며, 특히 폴라리톤 응축체와 같은 강한 비보존적 항을 포함한 시스템에서 검증한다.
• 원자 수 의존성에 따라 조정 가능한 가우시안 및 토머스-페르미형 프로파일을 모두 포괄할 수 있는 변분 안식수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈리의 비보존적 변분 설정은 유한차원 ODE에서 무한차원 복잡한 PDE, 예를 들어 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)으로 성공적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 소산적 NLS 모델에 적용했을 때, NCVA는 기존의 변분 기법(펌프팅 기반 VA 및 칸토로비치 방법)과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 펌프팅 이론이 실패하는 경우, NCVA는 강한 비보존적 항을 포함한 NLS 시스템에서 응집 구조의 동역학을 얼마나 정확하게 기술할 수 있는가?
• RQ4 엑시톤-폴라리톤 응축체에서 관찰된, 어두운 솔리톤 상태가 안정해지고 기저 상태가 불안정해지는 역전현상(안정성 역전)을 NCVA는 포착할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어 폴라리톤 응축체와 같이 공간에 따라 변화하는 증가와 내재된 손실이 존재하는 시스템에서 NCVA의 유효성은 어떠한가?

주요 결과

• NCVA 방법은 NLS 프레임워크 내에서 펌프팅 기반 변분근사법과 일반화된 칸토로비치 방법으로부터 유도된 운동 방정식과 수학적으로 동일한 결과를 도출한다.
• 선형 및 밀도에 의존하는 손실과 증가를 포함한 다양한 테스트 케이스에서 NCVA는 전체 NLS 시뮬레이션과 우수한 정성적·정량적 일치를 보인다.
• 비보존적 항이 보존적 항과 크기가 유사한 경우에도 NCVA는 정확성을 유지하지만, 전통적 펌프팅 기반 방법은 작은 외란을 전제로 하므로 이를 충족하지 못한다.
• 엑시톤-폴라리톤 응축체의 경우, NCVA는 핵심적인 동역학 및 안정성 특성, 특히 기저 상태보다 어두운 솔리톤 상태가 더 안정해지는 역설적인 안정성 역전 현상을 모두 포착한다.
• 안식수가 근사적으로 가우시안일 경우에도 NCVA는 정확성을 유지하며, 원자 수가 증가함에 따라 진정한 프로파일(예: 토머스-페르미 프로파일)로 수렴한다.
• 표준 펌프팅 접근법이 실패하는 복잡한 기브스-랑두이 방정식과 같은 개방계 비보존 시스템을 연구하는 데 있어 NCVA는 강력한 프레임워크를 제공한다.