[논문 리뷰] Non-equilibrium steady state formation in 3+1 dimensions

Christian Ecker, Johanna Erdmenger외 1명|Publication Server of Goethe University Frankfurt am Main (Goethe University Frankfurt)|2021. 03. 18.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 107인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 강한 상호작용을 가진 $χ=4$ SYM 이론을 사용하여 3+1차원에서 비평형 정상상태(NESS) 형성의 첫 번째 허모그래픽 시뮬레이션을 제시한다. 서로 다른 온도와 화학적 포텐셜을 가진 두 열역학적 열판을 연결함으로써, 냉각 열판 쪽으로 향하는 충격파와 난방 열판 쪽으로 향하는 희석파가 발생하여, 일정한 온도와 유속을 가지는 정상상태 영역이 형성되며, 이는 충격파-희석파 해법으로 정확히 기술된다. NESS는 연속적인 충돌에 유사한 전하 밀도의 부드러운 교차를 보이며, 얽힘 엔트로피는 에너지 밀도 변화와 거의 정확히 일치한다.

ABSTRACT

We present the first holographic simulations of non-equilibrium steady state formation in strongly coupled $\mathcal{N}=4$ SYM theory in 3+1 dimensions. We initially join together two thermal baths at different temperatures and chemical potentials and compare the subsequent evolution of the combined system to analytic solutions of the corresponding Riemann problem and to numeric solutions of ideal and viscous hydrodynamics. The time evolution of the energy density that we obtain holographically is consistent with the combination of a shock and a rarefaction wave: A shock wave moves towards the cold bath, and a smooth broadening wave towards the hot bath. Between the two waves emerges a steady state with constant temperature and flow velocity, both of which are accurately described by a shock+rarefaction wave solution of the Riemann problem. In the steady state region, a smooth crossover develops between two regions of different charge density. This is reminiscent of a contact discontinuity in the Riemann problem. We also obtain results for the entanglement entropy of regions crossed by shock and rarefaction waves and find both of them to closely follow the evolution of the energy density.

연구 동기 및 목표

• 3+1차원에서 강한 상호작용을 가진 양자장이론에서 비평형 정상상태(NESS) 형성의 원리를 탐구하기 위해.
• 유체역학에서 관찰된 충격파 + 희석파 시나리오가 허모그래픽이고 강한 상호작용 시스템에서도 유지되는지 여부를 확인하기 위해.
• 얽힘 엔트로피가 충격파와 희석파와 같은 동적 특징을 추적하는 데 어떤 역할을 하는지 분석하기 위해.
• 다양한 초기 조건과 수치적 파rameter에 대해 NESS 형성 메커니즘의 견고성 테스트를 위해.
• NESS 영역 내에서 전하 밀도의 부드러운 교차가 연속 불연속성과 유사하게 나타나는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 강한 상호작용을 가진 $χ=4$ SYM 이론을 3+1차원에서 5차원의 점점 아쉽스-디시드(AdS) 시공간에서의 고전적 중력 이론으로 매핑하기 위해 게이지/중력 dual을 활용한다.
• 다른 온도와 화학적 포텐셜을 가진 두 열역학적 열판의 비평형 역학적 동역학을 시뮬레이션하기 위해 이중 중력 방정식을 수치적으로 진화시킨다.
• 허모그래픽 시간 진동에서의 에너지 밀도와 전하 밀도 변화를 리만 문제의 해석적 해와 이상적, 점성 유체역학의 수치적 해와 비교한다.
• 허베니-랑아마니-타카야나기 체계를 사용하여 부스러지지 않는 표면을 통해 부스러지지 않는 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 초기 인터페이스의 급격함(예: $ anh(cz)$를 통해)을 변화시켜 민감도 분석을 수행하고, 수치적 안정성과 수렴성을 평가한다.
• 일정한 온도의 열판에서 전하 확산을 분석하여 충격파/희석파 역학과 대비하고, 확산 너비가 $\sqrt{t}$ 비율로 증가하는지 정량화한다.

Figure 1: Energy density (left) and charge density (right) of the double shock solution. The energy plot on the left shows the two heat baths and the NESS region. The charge plot displays the additional contact discontinuity that is absent for the middle value of $\chi$ given.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 온도와 화학적 포텐셜을 가진 두 열역학적 열판이 연결되었을 때, 강한 상호작용을 가진 $χ=4$ SYM 이론에서 3+1차원에서 비평형 정상상태(NESS)가 형성되는가?
• RQ2 3+1차원에서의 NESS는 상대론적 유체역학에 의해 예측된 바와 같이 충격파와 희석파로 구성되어 있는가, 아니면 고차원 효과로 인해 다를 수 있는가?
• RQ3 충격파와 희석파에 대한 허모그래픽 얽힘 엔트로피는 어떻게 진화하며, 에너지 밀도 동역학을 따라가는가?
• RQ4 NESS 영역 내 전하 밀도 프로파일의 성격은 무엇인가—불연속성인지, 부드러운 교차인지?
• RQ5 초기 인터페이스의 급격함 변화에 대해 수치 시뮬레이션이 견고한가? 극단적인 초기 조건에서의 수치적 안정성의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 에너지 밀도의 허모그래픽 시간 진동은 충격파 + 희석파 시나리오와 일치한다: 충격파는 냉각 열판 쪽으로, 희석파는 난방 열판 쪽으로 진행된다.
• 두 파동 사이의 정상상태 영역은 일정한 온도와 유속을 가지며, 리만 문제의 해석적 해와 일치한다.
• 전하 밀도는 NESS 영역 내에서 부드러운 교차를 보이며, 연속 불연속성과 유사한 형태를 띠며, 초기 전하 밀도의 차이에도 불구하고 날카운 점프가 없다.
• 허모그래픽 얽힘 엔트로피는 에너지 밀도 진동과 거의 정확히 일치하며, 얽힘과 국소적 에너지 동역학 간의 강한 상관관계를 시사한다.
• 초기 인터페이스의 급격함 변화에 대해 시뮬레이션 결과는 견고하며, $mt \gtrsim 4$ 이후 수렴함을 확인하여 초기 조건의 세부 사항에 민감하지 않음을 입증한다.
• 매우 낮은 초기 에너지 밀도 비율($\chi \ll 1$)에서 수치적 불안정성이 발생하며, 이는 물리적 불안정성 또는 수치적 한계로 인한 것으로 보이며, 향후 추가 연구가 필요하다.

Figure 2: (left) The velocities of the steady state flow ( $v_{S})$ , and the left- and right-moving shock velocities $v_{C}$ and $v_{H}$ in comparison to the sound velocity $c_{s}$ for $d=3$ according to Eqn. ( 2.1 ). (right) Change in entropy across the left and right moving shock waves, as functi