[논문 리뷰] Non-FPT lower bounds for structural restrictions of decision DNNF

Andrea Calı̀, Florent Capelli외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구조적 결정 DNNF와 ∧d-OBDD에 대한 비-FPT 하한을 확립하여, 이러한 지식 컴파일 포맷이 유계된 인cidencetree width를 가진 CNF 공식을 효율적으로 표현할 수 없음을 보여준다. 이는 이러한 공식들이 FPT 시간 내에 해결 가능하더라도 성립한다. 이 결과는 지식 컴파일에서 원시 tree width와 incidence tree width 사이의 기본적인 매개변수화된 복잡도 분리함을 드러내며, 절차적 DPLL 기반 SAT 솔버의 한계에 대한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We give a non-FPT lower bound on the size of structured decision DNNF and OBDD with decomposable AND-nodes representing CNF-formulas of bounded incidence treewidth. Both models are known to be of FPT size for CNFs of bounded primal treewidth. To the best of our knowledge this is the first parameterized separation of primal treewidth and incidence treewidth for knowledge compilation models.

연구 동기 및 목표

• 구조적 제약 조건이 있는 결정 DNNF가 유계된 incidence tree width를 가진 CNF 공식을 효율적으로 표현할 수 있는지 조사하기.
• 이러한 DNNF 표현에 의존하는 절차적 DPLL 기반 도구가 incidence tree width에 의해 해결 가능성이 있는 공식을 효율적으로 처리할 수 있는지 결정하기.
• 지식 컴파일 모델에서 원시 tree width와 incidence tree width 사이의 매개변수화된 복잡도 분리를 확립하기.
• 유계된 incidence tree width를 가진 공식이 FPT 크기의 구조적 DNNF 또는 ∧d-OBDD로 표현될 수 없음을 증명함. 이는 기저 문제의 FPT 해결 가능성에도 불구하고 성립한다.

제안 방법

• 유계된 tree width와 최대 degree 5를 가진 그래프 G로부터 유도된 CNF 공식 F²_G의 가족을 구성하며, k′ = ⌊(k−3)/2⌋일 때 incidence tree width가 최대 2k′+3이 되도록 한다.
• G의 트리 분해를 이용해 F²_G에 대한 유효한 incidence 트리 분해를 구축함으로써 incidence tree width의 유계성을 증명한다.
• 정리 19를 적용하여, 어떤 선형 확장에서도 모든 M의 간선이 정점 u 주변에 순서가 지정된 유사한 정점 u와 큰 매칭 M이 존재함을 보인다.
• 모든 V¹ ∪ V² 상의 선형 순서 < 에 대해, F²_G에서 크기 Ω(k log n)인 큰 유도 매칭 M′이 존재함을 증명하며, 이는 정리 18의 조건을 만족한다.
• 정리 18을 활용하여 F²_G에 대한 ∧d-OBDD의 크기에 대해 2^{|M|/2−1}의 하한을 도출하고, 이로 인해 n^{Ω(k)}의 하한을 얻는다.
• 유사한 매칭 기반의 추론을 통해 구조적 DNNF로의 확장을 다루며, 이러한 표현 방식이 FPT 크기로 존재할 수 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조적 결정 DNNF는 유계된 incidence tree width를 가진 CNF 공식을 효율적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 유계된 incidence tree width를 가진 CNF 공식의 ∧d-OBDD 표현은 FPT 크기 하한을 가질 수 있는가?
• RQ3 지식 컴파일 모델에서 원시 tree width와 incidence tree width 사이에 매개변수화된 복잡도 분리가 존재하는가?
• RQ4 절차적 DPLL 기반 SAT 솔버가 DNNF 컴파일에 의존하는 바, incidence tree width에 의해 해결 가능한 공식을 효율적으로 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 k에 대해 incidence tree width가 k인 무한한 CNF 공식의 가족이 존재하며, 이에 대해 구조적 결정 DNNF 표현은 크기 |F|^{Ω(k)}를 요구한다.
• 동일한 공식 가족에 대해 ∧d-OBDD 표현 역시 크기 |F|^{Ω(k)}를 요구하며, 이는 비-FPT 하한을 확립한다.
• 하한은 어떤 변수 순서에서도 크기 Ω(k log n)인 큰 유도 매칭 M이 존재함에 기인한다.
• 이 구성은 degree가 최대 5인 tree width가 k′인 그래프 G를 사용하며, 이로 인해 F²_G의 incidence tree width가 2k′+3 ≤ k로 유계진다.
• 결과적으로 유계된 incidence tree width를 가진 공식은 FPT 시간 내에 해결 가능하나, FPT 크기의 구조적 DNNF 또는 ∧d-OBDD로 컴파일될 수 없음을 보여준다.
• 이로써 지식 컴파일에서 원시 tree width와 incidence tree width 사이의 첫 번째 매개변수화된 분리가 이루어지며, 구조적 제약 조건에서의 기본적인 비대칭성을 드러낸다.