[논문 리뷰] Connecting Width and Structure in Knowledge Compilation (Extended Version)

Antoine Amarilli, Mikaël Monet외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Machine Learning and Algorithms참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 트리 분해와 MSO 논리학을 활용하여, 유한한 트리 폭을 가진 부울 회로를 결정적이고 구조화된 DNNF(d-SDNNF)로 선형 시간에 컴파일하는 알고리즘을 제시한다. 주요 기여는 회로의 등가성을 유지하면서도 쿼리 평가의 효율성을 보장하는 구성 방법이며, 임의의 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 런타임 복잡도가 $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $ 이다. 여기서 $ k $ 는 트리 폭이다.

ABSTRACT

Several query evaluation tasks can be done via knowledge compilation: the query result is compiled as a lineage circuit from which the answer can be determined. For such tasks, it is important to leverage some width parameters of the circuit, such as bounded treewidth or pathwidth, to convert the circuit to structured classes, e.g., deterministic structured NNFs (d-SDNNFs) or OBDDs. In this work, we show how to connect the width of circuits to the size of their structured representation, through upper and lower bounds. For the upper bound, we show how bounded-treewidth circuits can be converted to a d-SDNNF, in time linear in the circuit size. Our bound, unlike existing results, is constructive and only singly exponential in the treewidth. We show a related lower bound on monotone DNF or CNF formulas, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable). Specifically, any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth; and the same holds for pathwidth when compiling to OBDDs. Our lower bounds, in contrast with most previous work, apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, for our language of DNF and CNF, pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling to OBDDs and (d-)SDNNFs, that is, compilation is singly exponential in the width parameter. We conclude by applying our lower bound results to the task of query evaluation.

연구 동기 및 목표

• 부울 회로를 결정적이고 구조화된 DNNF(d-SDNNF)로 컴파일하는 방법을 개발함으로써 회로의 의미를 유지한다.
• 유한한 트리 폭을 가정할 경우, 입력 회로 크기와 선형적인 시간 복잡도로 컴파일 과정을 보장한다.
• 트리 분해 폭과 지식 컴파일 회로의 구조적 성질 사이의 관계를 설정한다.
• 처리 가능한 표현을 통해 컴파일된 회로에서 효율적인 확률적 추론과 쿼리 평가를 가능하게 한다.

제안 방법

• 자신의 트리 분해를 이원화, 완전화, 그리고 좋은 형태로 변환하면서 폭과 구조를 유지하는 방법을 사용하며, 두 개 이상의 자식을 가진 백에 대해 체인 치환을 적용한다.
• 좋은 트리 분해의 각 백을 대응하는 노드로 매핑하여 결과 d-SDNNF에 대한 v-트리를 구성한다.
• 게이트 유형, 와이어, 진리 값 할당을 위한 관계를 포함하는 관계 인스턴스로 회로를 인코딩하기 위해 서명 $\sigma$ 를 정의한다.
• 주어진 할당 하에 회로 평가를 확인하기 위해 존재적으로 진리로 간주되는 게이트 집합을 추측하는 MSO 공식 $\varphi$ 를 제시한다.
• 기존 결과를 활용하여 관계 인스턴스 위에서 $\varphi$ 의 근원을 캡처하는 d-SDNNF $C'$ 를 선형 시간에 계산한다.
• 비-진리 사실에 대한 입력 값을 수정함으로써 $C'$ 를 $C''$ 로 수정하며, 이는 원래 회로와 등가이면서 여전히 d-SDNNF 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 트리 폭을 가정할 경우, 부울 회로를 회로 크기와 선형적인 시간 내에 d-SDNNF로 컴파일할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 트리 분해 폭을 활용하여 d-SDNNF의 구조적 성질, 예를 들어 결정성과 분해 가능성 등을 보장할 수 있는가?
• RQ3 초그래프에서 경로 폭, 차수, 경로-구조 폭 사이의 관계는 무엇이며, 이는 회로 컴파일에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 원래 회로와 컴파일된 d-SDNNF 사이의 등가성을 유지하면서도 효율적인 확률적 추론을 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 부울 회로를 등가인 d-SDNNF로 컴파일하는 선형 시간 알고리즘을 제시하며, 임의의 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 런타임 복잡도가 $ O(|T| \times 2^{(4+\varepsilon)k}) $ 이다. 여기서 $ k $ 는 회로의 트리 분해의 트리 폭이다.
• 이 구성은 결과 d-SDNNF 가 결정적이며 구조화되어 있음을 보장하며, 좋은 트리 분해에서 유도된 v-트리가 존재한다.
• 이 방법은 회로 의미를 유지한다: $ C'' $ 는 할당 $ \nu $ 에 대해 진리로 평가되며, 원래 회로 $ C $ 도 같은 할당 하에 진리로 평가된다.
• 이 알고리즘은 이원화, 정규화, 완전성 강제화를 포함한 모든 변환 과정 동안 원래 트리 분해의 폭을 유지한다.
• 증명은 각 백당 도입되는 게이트 수가 $ 2^{O(k)} $ 이하로 유한함을 보여주며, 이는 트리 폭에 대한 지수적 의존성이 최소화됨을 보장한다.
• 논문은 $ \mathrm{psw}(H) \leq \mathrm{degree}(H) \times (\mathrm{pw}(H) + 1) $ 를 증명하며, 초그래프에서 경로-구조 폭에 대한 유용한 상한을 제공한다.