[논문 리뷰] Non-Improved Uniform Tail Estimates for Normed Sums of Independent Random Variables with Heavy Tails, with applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 21.

Probability and Risk Models참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특성 함수로부터 유도된 자연스러운 규격화 수열을 사용하여, 정규화된 합의 균일 꼬리 추정치를 정규 분포가 아닌 무거운 尾 꼬리 분포를 가진 독립적인 랜덤 변수에 대해 비개선 형태로 확립한다. 주요 기여는 모든 $ r \in (0,2) $, $ r=2 $, 및 $ r>2 $ 에 대해 유효한 균일 꼬리 함수 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ 에 대한 정밀한 상계를 제공하는 것으로, 베르누이 공간에서의 몬테카를로 방법 및 중심극한정리/안정극한정리에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We obtain an uniform tail estimates for natural normed sums of independent random variables (r.v.) with regular varying tails of distributions. We give also many examples on order to show the exactness of offered estimates and discuss some applications in the method Monte-Carlo and statistics, and obtain the sufficient conditions for Central and stable limit theorem in the Banach space of continuous function. There are considered a slight generalization on a random variables with super-heavy tails and martingale difference scheme.

연구 동기 및 목표

• 정규 분포가 아닌 꼬리가 규칙적으로 변화하는 꼬리 분포를 가진 독립적이고 동일하게 분포된 랜덤 변수의 정규화된 합에 대해 균일하고 비개선된 꼬리 추정치를 도출하는 것.
• 균일 꼬리 함수 $ U(x) = \sup_n \mathbf{P}( |S(n)| \geq x ) $ 가 기저 꼬리 함수 $ T(x) = \mathbf{P}(|\xi| \geq x) $ 에 따라 어떻게 행동하는지 기술하는 것.
• 이 꼬리 추정치를 사용하여 연속 함수 공간의 베르누이 공간에서의 중심극한정리 및 안정극한정리에 대한 충분조건을 확립하는 것.
• 초무거운 尾 꼬리(로그 형태 감쇠) 및 비대칭, 비동일 분포 경우로 결과를 확장하는 것.
• 무거운 꼬리 노이즈 하에서의 몬테카를로 방법 및 통계 추정에의 응용 제공

제안 방법

• 특성 함수 $ \psi(t) = \mathbf{E}[1 - \operatorname{Re}(e^{it\xi})] $ 를 사용하여, $ \psi_{\xi}(1/b(n)) = n $ 의 양의 해로 규격화 수열 $ b(n) $ 을 정의한다.
• 비대칭 경우를 다루기 위해 대칭화된 특성 함수 $ \overline{\psi}(t) = \sup_{\lambda \in (0,1)} \frac{\psi(\lambda t)}{\psi(\lambda)} $ 를 사용한다.
• 모든 $ x > e $ 에 대해 균일 꼬리 함수에 대한 상계 $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ 를 확립한다.
• 모멘트 및 꼬리 비교 기법을 사용하여 $ L^p $-노름과 체비셰프 유형 부등식을 활용해 모멘트 조건 하에서의 상계를 유도한다.
• 비동일 분포인 경우를 일반화하기 위해 꼬리 행동에 대한 균일한 상한 조건을 가정한다: $ C_1 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) \leq T_{\xi(k)}(x) \leq C_2 x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $.
• 비균일 규격화 수열에 대해 오르리츠 공간 프레임워크를 사용하여 $ \|a\|_\psi = \inf\{ t > 0 : \sum_k \psi(|a(k)|/t) \leq 1 \} $ 를 정의하고, $ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 랜덤 변수 $ \xi(k) $ 가 규칙적으로 변화하는 꼬리 분포를 가지며, $ S(n) = b(n)^{-1} \sum_{k=1}^n \xi(k) $ 이면, 정규화된 합에 대해 정밀한 비개선 균일 꼬리 추정치는 무엇인가요?
• RQ2 기댓값 $ \mathbf{P}(|\xi| \geq x) \sim x^{-r} \log^\gamma x \, L(\log x) $ 이고 $ r \in (0,2) $ 이면, 규격화 수열 $ b(n) $ 의 渐近 행동은 어떻게 되나요?
• RQ3 모든 $ n $ 에 대해 균일 꼬리 함수 $ U(x) $ 를 기저 꼬리 $ T(x) $ 에 대해 균일하게 상한으로 둘 수 있으며, 그 상한의 형태는 무엇인가요?
• RQ4 이 꼬리 추정치는 연속 함수 공간의 베르누이 공간에서의 중심극한정리 및 안정극한정리에 어떤 함의를 갖나요?
• RQ5 비대칭, 비동일 분포, 초무거운 尾 꼬리 분포를 가진 랜덤 변수로 결과가 어떻게 확장되나요?

주요 결과

• 모든 $ x > e $ 에 대해 균일 꼬리 함수는 $ U(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ 를 만족하며, 이는 비개선이지만 정밀한 균일 상계를 제공한다.
• 모든 $ r \in (0,2) $ 에 대해, 조건 $ L(X^{1/r} / (\log^\gamma X \, L^{1/r}(\log X))) \asymp L(X) $ 가 $ X \to \infty $ 일 때 성립하면, 규격화 수열은 渐近적으로 $ b(n) \sim n^{1/r} \log^{\gamma/r} n \, L^{1/r}(\log n) $ 로 행동한다.
• 모든 $ \mathbf{E}|\xi|^r < \infty $ 이면, 꼬리 추정치 $ U(x) \leq \exp(-C_1 x^{\min(m,2)}) $ 가 지수 꼬리 분포 $ T(x) = \exp(-C x^m) $ 에 대해 $ m \in [1,\infty) $ 일 때 성립한다.
• 비대칭 랜덤 변수이지만 $ \mathbf{E}\xi = 0 $ (모든 $ r \in (1,2] $ 에 대해) 또는 제한된 절단 기댓값을 가진다(모든 $ r=1 $ 에 대해), 이 경우 결과는 대칭 조건 없이도 확장된다.
• 비균일 규격화 수열의 경우, 모든 수열 $ a $ 에 대해 $ \|a\|_\psi \leq 1 $ 이면, 상계 $ \overline{U}(x) \leq 0.5x \int_{-2/x}^{2/x} \overline{\psi}(t) \, dt $ 가 성립하며, 이는 균일한 경우를 일반화한다.
• 모멘트를 통한 꼬리 비교는 $ T_\xi(x) \leq \inf_{p \in [1,r)} \left[ x^{-p} |\eta|_p^p \right] $ 를 제공하며, 이는 무거운 꼬리 분포를 모멘트 정보를 이용해 상한으로 둘 수 있는 방법을 제공한다.