[논문 리뷰] Non-intrusive reduced order modeling of poroelasticity of heterogeneous media based on a discontinuous Galerkin approximation

Teeratorn Kadeethum, Francesco Ballarin외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 28.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 109인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비균질 다공성 매체에서 선형 다중탄성성의 비침습적 축소 순서 모델링 프레임워크를 제안한다. 전체 순서 모델로 이산 갈레르킨(DG) 유한요소법을 사용하며, 적절한 직교 분해(POD)와 인공신경망(ANN)을 결합하여 불확실한 매개변수를 축소 기저 계수로 매핑한다. 이로 인해 전체 순서 모델 대비 최대 6배 빠른 속도를 달성하면서도, 물성의 비균질성으로 인한 변위 및 압력장의 급격한 불연속성을 정확히 포착할 수 있다.

ABSTRACT

We present a non-intrusive model reduction framework for linear poroelasticity problems in heterogeneous porous media using proper orthogonal decomposition (POD) and neural networks, based on the usual offline-online paradigm. As the conductivity of porous media can be highly heterogeneous and span several orders of magnitude, we utilize the interior penalty discontinuous Galerkin (DG) method as a full order solver to handle discontinuity and ensure local mass conservation during the offline stage. We then use POD as a data compression tool and compare the nested POD technique, in which time and uncertain parameter domains are compressed consecutively, to the classical POD method in which all domains are compressed simultaneously. The neural networks are finally trained to map the set of uncertain parameters, which could correspond to material properties, boundary conditions, or geometric characteristics, to the collection of coefficients calculated from an $L^2$ projection over the reduced basis. We then perform a non-intrusive evaluation of the neural networks to obtain coefficients corresponding to new values of the uncertain parameters during the online stage. We show that our framework provides reasonable approximations of the DG solution, but it is significantly faster. Moreover, the reduced order framework can capture sharp discontinuities of both displacement and pressure fields resulting from the heterogeneity in the media conductivity, which is generally challenging for intrusive reduced order methods. The sources of error are presented, showing that the nested POD technique is computationally advantageous and still provides comparable accuracy to the classical POD method. We also explore the effect of different choices of the hyperparameters of the neural network on the framework performance.

연구 동기 및 목표

• 고도로 비균질한 다공성 매질에서 선형 다중탄성성에 대한 빠르고 비침습적인 축소 순서 모델(ROM)을 개발함으로써, 기존 방법이 불연속성과 계산 비용 문제로 어려움을 겪는 상황을 해결하고자 한다.
• 전체 순서 모델(FOM)에 비해 온라인 계산 시간을 극적으로 단축시켜 민감도 분석, 불확실성 정량화, 최적화 및 제어를 효율적으로 수행할 수 있도록 하고자 한다.
• 큰 투과도 대비로 인해 발생하는 변위 및 압력장의 급격한 불연속성을 정확히 포착하는 능력을 유지하고자 한다. 이는 침습적 ROM 방법으로서는 어려운 과제이다.
• 매개변수화된 다중탄성성 문제에서 네스트드 POD와 전통적 POD의 정확도 및 계산 효율성 측면에서의 성능 비교를 수행하고자 한다.
• 신경망 하이퍼파rameter의 영향이 ROM의 정확도와 강건성에 미치는 영향을 평가하고자 한다.

제안 방법

• 전체 순서 모델(FOM)은 내부 페널티 이산 갈레르킨(IPDG) 유한요소법에 기반하며, 비균질 매질에서 높은 투과도 대비에 대해 국소 질량 보존성과 강건성을 보장한다.
• FOM의 스냅샷 데이터에 적절한 직교 분해(POD)를 적용하여 해의 다양체에서 지배적인 모드를 포괄하는 축소 기저 공간을 구성한다.
• 두 가지 POD 변형을 비교한다: 전통적 POD(시간 및 매개변수 도메인을 동시에 압축)와 네스트드 POD(시간과 매개변수를 순차적으로 압축), 후자는 오프라인 비용을 감소시킨다.
• 인공신경망(ANN)을 학습시켜 불확실한 입력 매개변수(예: 물성, 경계 조건)를 축소 기저의 계수로 매핑한다. 이는 $L^2$-투영을 통해 수행된다.
• 온라인 단계에서는 FOM을 수정하지 않고도 새로운 매개변수 값에 대해 예측된 계수를 신속하게 산출할 수 있으며, 이는 비침습적 평가를 가능하게 한다.
• 프레임워크는 표준 오프라인-온라인 파라디그마를 따르며, 오프라인 단계(전체 순서 모델 해석, POD, $L^2$ 투영, ANN 학습), 온라인 단계(ANN 예측, 축소 해 재구성)로 구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DG-FEM, POD 및 ANN을 기반으로 한 비침습적 ROM 프레임워크가 고도로 비균질한 매질에서 다중탄성성 문제에 대해 빠른 속도 향상과 정확도 유지가 가능한가?
• RQ2 매개변수화된 다중탄성성 문제에서 네스트드 POD 기법은 전통적 POD와 정확도 및 계산 비용 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 신경망 예측 오차가 전체 ROM 오차의 주요 원인인가? 그리고 아키텍처나 정규화를 통해 이를 줄일 수 있는가?
• RQ4 ROM이 극도로 높은 투과도 대비로 인해 발생하는 변위 및 압력장의 급격한 불연속성을 정확히 해상할 수 있는가?
• RQ5 학습 및 온라인 비용을 고려할 때, ROM 프레임워크가 전체 순서 모델보다 더 효율적인 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 비침습적 ROM 프레임워크는 전체 순서 모델(FOM) 대비 약 6배 더 빠른 온라인 평가 성능을 달성하며, 해장의 상대 오차는 극히 미미하다.
• 물성의 비균질성으로 인한 변위 및 압력장의 급격한 불연속성을 성공적으로 포착하였다. 이는 침습적 ROM 방법에서 흔히 손실되는 능력이다.
• ROM의 주요 오차 원천은 POD 절단 또는 $L^2$ 투영이 아니라 인공신경망(ANN)이 축소 기저 계수를 예측하는 데 기인하며, ANN 오차는 기저 압축에 의한 오차보다 약 3개 정도의 주기수 높다.
• 네스트드 POD 기법은 전통적 POD와 유사한 정확도를 제공하지만 오프라인 계산 비용을 크게 감소시켜, 대규모 매개변수 문제에 있어 더 효율적인 선택이다.
• ROM 프레임워크의 비용 절감 절입점은 약 1,050에서 2,850회의 온라인 쿼리 이후 도달하며, 이는 반복적 시뮬레이션에 있어 경제적 효율성을 확보함을 의미한다.
• 신경망 하이퍼파rameter 조정이 성능에 영향을 미치며, 향후 향상 가능성을 고려해 물리 기반 정규화나 순환 신경망과 같은 대체 아키텍처 도입이 고려될 수 있다.