[논문 리뷰] Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups

Bertrand Deroin, Sebastián Hurtado|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 24.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 단순 리 군에서 실수 계수가 2 이상이고 중심이 유한한 경우의 기약 격자들이, 그들의 유니버설 커버인 SL(2,R)로의 전사 준동형사상이 존재하지 않는 한 왼쪽 순서 가능하지 않음을 증명한다. 이 결과는 Ghys와 Witte-Morris의 오랫동안 남아 있던 추측을 해결하며, 경계 공간 위에서의 동역학 시스템과 조화 측도 기법을 통해 고계수 리 군 내 왼쪽 순서 가능 격자에 대한 완전한 분류를 수립한다.

ABSTRACT

We prove that an irreducible lattice in a real semi-simple Lie group of real rank at least two and finite center is not left-orderable.

연구 동기 및 목표

• 유한 중심을 가진 고계수 실수 단순 리 군 내에서 기약 격자들의 모든 왼쪽 순서 가능성을 분류하는 것.
• Ghys와 Witte-Morris의 이러한 격자들의 비왼쪽 순서 가능성에 대한 추측을 해결하는 것.
• 실수 직선 위의 작용이 반-동치 관계에 대해 어떻게 연결되는지 기반으로 하여 군의 구조와 동역학적 성질을 연결하는 것.
• 이러한 격자들에 대한 원환면과 직선 위의 완전한 순서와 위상적 작용의 분류를 수립하는 것.
• 이러한 격자들이 SL(2,R)의 유니버설 커버로의 전사 준동형사상이 존재하지 않는 한 왼쪽 순서 가능하지 않음을, 강성 이론과 측도론적 방법을 통해 증명하는 것.

제안 방법

• 대칭 공간의 경계 위에서의 조화 측도 이론과 군 작용에 대한 동치성 원리를 활용한다.
• 포아송 공식과 푸르스텐베르크의 경계 이론을 적용하여 경계 위의 불변 측도를 군 위의 조화 측도와 연결한다.
• 측도의 변형을 분석하기 위해 L-측도 이동 개념을 활용하며, 루신의 정리를 통해 가측 연속성을 확보한다.
• 측도 공간 위의 기하선 흐름의 전역 수축 성질을 이용하여, 왼쪽 순서 가능성 가정 시 모순을 이끌어내는 것.
• 마르굴리의 슈퍼강성 이론과 Zimmer 프로그램의 프레임워크를 적용하여 실수 직선 위의 가능한 작용을 제약한다.
• 특히, 리만 연속성의 리본 구조를 따라 이격된 거리가 유한한 군 원소들에 의한 측도 행동을 분석하는 대칭 공간의 경계에서의 격자 작용의 동역학을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 중심이 유한한 고계수 단순 리 군 내 기약 격자가 어떤 조건에서 왼쪽 순서 가능할 수 있는가?
• RQ2 고계수 리 군 내 격자가 비자명한 실수 직선 위의 작용을 가지며, 표준 작용과 반-동치가 아닌 경우는 존재하는가?
• RQ3 SL(2,R)의 유니버설 커버가 이러한 격자의 왼쪽 순서 가능성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 왼쪽 순서 가능할 수 있는 고계수 격자가 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떤 구조적 조건을 만족해야 하는가?
• RQ5 조화 측도와 L-측도 이동이 실수 직선 위에서 격자의 가능한 작용을 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 기본 중심이 유한한 고계수 단순 리 군 내 기약 격자는, 그들의 유니버설 커버인 SL(2,R)로의 전사 준동형사상이 존재하지 않는 한 왼쪽 순서 가능하지 않다.
• 이러한 격자들이 실수 직선 위에 작용하는 경우, 그 모든 작용은 유니버설 커버 SL(2,R)로의 몰입을 통한 작용과 반-동치가 된다.
• 왼쪽 순서 가능 격자가 존재한다는 것은, 유니버설 커버 SL(2,R)로의 전사 준동형사상이 존재한다는 것을 의미하며, 이는 강력한 구조적 제약 조건이다.
• 이 증명은 L-측도 이동에 의한 조화 측도의 변형과 기하선 흐름의 전역 수축 성질에 기반한 모순에 의존한다.
• 측도론적 분석 결과, 이러한 작용은 유일한 변형 상한을 요구하며, 이는 군 원소에 의해 흐름 상자의 성장과 모순된다.
• 이 결과는 고계수 리 군 내 왼쪽 순서 가능 격자에 대한 분류를 완성하며, 기하군 이론과 동역학 시스템 분야에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.