[논문 리뷰] Non-parametric estimation of the spiking rate in systems of interacting neurons

Pierre Hodara, Nathalie Krell외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 25.

Neural dynamics and brain function참고 문헌 31인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 조작된 결정성 마르코프 과정(PDMP)으로 모델링된 상호작용하는 뉴런 시스템에서의 스파iking 속도 함수에 대한 비모수적 Nadaraya-Watson 커널 추정기의 제안한다. 이는 헬더-연속성 스파이킹 속도 함수에 대해 최적의 $ L^2 $ 수렴 속도 $ t^{-\frac{2\beta}{1+2\beta}} $ 를 확립하고, 단일 뉴런 과정의 균일한 에르고딕성과 불변 측도 분석을 활용하여 추정 오차에 대한 중심극한정리도 증명한다.

ABSTRACT

We consider a model of interacting neurons where the membrane potentials of the neurons are described by a multidimensional piecewise deterministic Markov process (PDMP) with values in ${\\mathbb R}^N, $ where $ N$ is the number of neurons in the network. A deterministic drift attracts each neuron's membrane potential to an equilibrium potential $m.$ When a neuron jumps, its membrane potential is reset to $0,$ while the other neurons receive an additional amount of potential $\\frac{1}{N}.$ We are interested in the estimation of the jump (or spiking) rate of a single neuron based on an observation of the membrane potentials of the $N$ neurons up to time $t.$ We study a Nadaraya-Watson type kernel estimator for the jump rate and establish its rate of convergence in $L^2 .$ This rate of convergence is shown to be optimal for a given H\\"older class of jump rate functions. We also obtain a central limit theorem for the error of estimation. The main probabilistic tools are the uniform ergodicity of the process and a fine study of the invariant measure of a single neuron.

연구 동기 및 목표

• 상호작용하는 뉴런 네트워크 내 단일 뉴런의 비모수적 스파이킹 속도 함수를 추정하기 위해.
• 헬더-연속성 가정 하에 커널 기반의 스파이킹 속도 추정에 대한 최적의 수렴 속도를 유도하기 위해.
• PDMP 기반 뉴런 네트워크 모델의 맥락에서 추정 오차에 대한 중심극한정리를 확립하기 위해.
• 밀도 추정 및 비선형 회귀와 같은 벤치마크 비모수적 모델과의 관련성으로 모델의 통계적 복잡성을 분석하기 위해.
• 레 캄의 방법과 우도 비율 기법을 사용하여 최소 최대 하한을 통해 제안된 추정기의 최적성 검증하기 위해.

제안 방법

• 스파이크 수와 해당 영역 $ B_h(a) $ 내에서 뉴런의 막전위의 점유 시간을 사용하여 Nadaraya-Watson 유형의 커널 추정기를 구성한다.
• 추정기는 $ \hat{f}_t(a) = \frac{\sharp \text{spikes in } B_h(a)}{\text{occupation time of } B_h(a)} $ 로 정의되며, 편향과 분산을 균형 잡기 위해 밴드위드 $ h_t $ 가 선택된다.
• 분석은 전체 $ N $-차원 PDMP의 균일한 에르고딕성과 진짜 속도 $ f_0 $ 에서의 단일 뉴런의 불변 측도에 기반한다.
• 핵심 기술적 도구는 레 캄의 방법을 통해 최소 최대 하한을 도출하기 위해 우도 비율 $ L_t^{f_t/f_0} $ 와 우도 비율의 각도 괄호에서의 쿨백-라이블러 발산을 사용하는 것이다.
• 중앙극한정리와 수렴 속도의 증명은 카운팅 과정의 마틴갈 구조와 보정자 $ \hat{\mu}^{f_0} $ 에 기반하며, 스펙트럼 갭과 PDMP의 혼합 성질을 이용하여 유계를 도출한다.
• 밴드위드 $ h_t $ 는 $ t^{-1/(2\beta+1)} $ 로 선택되며, 이는 $ L^2 $ 리스크에 대해 최적의 속도 $ t^{-2\beta/(1+2\beta)} $ 를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호작용하는 뉴런 시스템을 PDMP로 모델링할 때, 스파이킹 속도의 비모수적 추정에 대한 최적의 수렴 속도는 무엇인가요?
• RQ2 헬더-연속성 가정 하에, 네다라야-워츠본 커널 추정기는 이 최적의 속도에 도달할 수 있나요?
• RQ3 주어진 모델 가정 하에, 추정 오차는 중심극한정리를 만족합니까?
• RQ4 이 뉴런 네트워크 모델의 통계적 복잡성은 밀도 추정 또는 회귀와 같은 전통적인 비모수적 모델과 비교해 어떻게 되나요?
• RQ5 추정 리스크에 대한 최소 최대 하한은 무엇이며, 제안된 추정기는 이에 대해 속도 최적성(optimality)을 갖는가요?

주요 결과

• 제안된 네다라야-워츠본 커널 추정기는 헬더 클래스의 순서 $ \beta $ 를 가진 스파이킹 속도 함수에 대해 최적의 $ L^2 $ 수렴 속도 $ t^{-\frac{2\beta}{1+2\beta}} $ 를 달성한다.
• 추정 오차에 대한 중심극한정리가 확립되어, 추정기의 진짜 속도 함수 주변에서 점근적으로 정규분포를 이룬다.
• 최소 최대 하한은 레 캄의 방법과 우도 비율을 사용하여 유도되었으며, 이는 수렴 속도의 최적성 확인한다.
• 하한 증명은 PDMP의 균일한 에르고딕성과 단일 뉴런의 불변 밀도의 유계성에 기반한다.
• 밴드위드 $ h_t = t^{-1/(2\beta+1)} $ 가 최적이며, 커널 추정기의 편향과 분산을 균형 잡는다.
• 우도 비율 $ L_t^{f_t/f_0} $ 가 $ \mathbb{E}_0[|\log L_t^{f_t/f_0}|] < \infty $ 를 만족함을 보였으며, 이는 최소 최대 하한을 증명하는 데 필수적이다.