[논문 리뷰] Nonclassical Lagrangian Dynamics and Potential Maps

Constantin Udrişte|ArXiv.org|2000. 07. 10.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 9인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 준리만기하학에서 일반화된 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙을 도입하며, 임의의 일阶 PDE 체계가 준리만라그랑주 구조를 통해 이러한 법칙을 유도할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 이러한 PDE의 해가 조화 또는 포텐셜 매핑임을 증명하고, 로렌츠-우드리셰 법칙이 일阶 임펄스 다발 $J^1(T,M)$ 위에서 다형심플렉틱 구조를 지닌 공변 해밀턴 PDE 체계와 동치임을 밝혀내는 것이다.

ABSTRACT

Section 1 refines the theory of harmonic and potential maps. Section 2 defines a generalized Lorentz world-force law and shows that any PDEs system of order one generates such a law in suitable geometrical structure. In other words, the solutions of any PDEs system of order one are harmonic or potential maps, if we use semi-Riemann-Lagrange structures. Section 3 formulates open problems regarding the geometry of semi-Riemann manifolds $(J^1(T,M), S_1)$, $(J^2(T,M), S_2)$, and shows that the Lorentz-Udriste world-force law is equivalent to covariant Hamilton PDEs on $(J^1(T,M), S_1)$.

연구 동기 및 목표

• 준리만라그랑주 구조를 사용하여 고전 라그랑주 역학을 비고전적 설정으로 확장하기.
• 임의의 일阶 PDE 체계가 적절한 기하학적 프레임워크 내에서 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙으로 해석될 수 있음을 보여주기.
• 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙과 일阶 임펄스 다발 $J^1(T,M)$ 위의 공변 해밀턴 PDE 체계 사이의 동치성을 확립하기.
• $J^1(T,M)$ 및 $J^2(T,M)$의 기하학에 관한 열린 문제를 제시하기.

제안 방법

• 다발 $(T,h)$ 및 $(M,g)$를 사용하여 사상 $\varphi: T \to M$의 에너지 밀도와 라그랑지안을 정의한다.
• 특정 텐서장 $X^i_\alpha$와 스칼라 함수 $c$를 포함하는 일반화된 에너지 밀도 $E(\varphi)$를 도입하며, 이로 인해 포텐셜 매핑이 임계점이 된다.
• 스칼라 함수 $c$와 텐서장 $F_j{}^i_\alpha$, $U^i_{\alpha\beta}$를 포함하는 두 번째 계수 PDE 체계를 통해 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙을 정의하며, $\omega_{ji\alpha}$는 반대칭이다.
• 리우빌 형식 $\theta$와 그 외미분을 사용하여 $J^1(T,M)$ 위에 특별한 다형심플렉틱 $(p+2)$-형식 $\Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha$를 구성한다.
• 해밀턴 관측량 $H$에 대한 조건 $X_H \llcorner \Omega_\alpha = dH$로부터 공변 해밀턴 PDE 체계를 유도한다.
• 임펄스 다발 위의 운동 방정식을 유도함으로써 로렌츠-우드리셰 법칙과 해밀턴 PDE 체계 사이의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 일阶 PDE 체계는 준리만기하학적 프레임워크 내에서 일반화된 로렌츠 세계력 법칙의 해로 실현될 수 있는가?
• RQ2 조화 매핑과 포텐셜 매핑은 이러한 일반화된 세계력 법칙의 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙이 공변 해밀턴 PDE 체계와 동치가 되게 하는 $J^1(T,M)$ 위의 정확한 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ4 이 동치성을 뒷받침하는 $J^1(T,M)$ 위의 준리만구조 $S_1$ 및 $J^2(T,M)$ 위의 준리만구조 $S_2$의 내재 기하적 성질은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크에서 연속적인 군 작용이 라그랑지안의 변곡점으로서 언제 발생하는가?

주요 결과

• 준리만라그랑주 구조를 지닌 경우, 임의의 일阶 PDE 체계 $x^i_\alpha = X^i_\alpha(t,x)$의 해는 조화 또는 포텐셜 매핑이다.
• 로렌츠-우드리셰 세계력 법칙 $\tau(\varphi)^i = g^{ij}\partial c/\partial x^j + h^{\alpha\beta}F_j{}^i_\alpha x^j_\beta + h^{\alpha\beta}U^i_{\alpha\beta}$는 $J^1(T,M)$ 위의 공변 해밀턴 PDE 체계와 동치이다.
• 해밀턴 관측량은 $H = \left(\frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}x^i_\alpha x^j_\beta - f\right)dv_h$로 주어지며, 여기서 $f$는 텐서장 $X^i_\alpha$와 관련된 보정 항이다.
• 특정 다형심플렉틱 형식 $\Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\beta X^i_\alpha)dt^\beta \wedge dx^j) \wedge dv_h$는 해밀턴 시스템의 기하학적 구조를 정의한다.
• 유도된 해밀턴 PDE 체계는 $u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta$ 및 $\delta u^{\alpha i}/\partial t^\alpha = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha$이며, $dv_h$에 의해 상쇄되는 항들을 제외한 것이다.
• 연속적인 군 작용의 예시에서 라그랑지안 $L = \frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}(x^i_\alpha - \xi^i_\lambda A^\lambda_\alpha)(x^j_\beta - \xi^j_\mu A^\mu_\beta)\sqrt{|h|}$는 체계의 변곡점(포텐셜 매핑)을 이루는 사상을 유도한다.