[논문 리뷰] Solutions of DEs and PDEs as Potential Maps Using First Order Lagrangians

Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|2000. 07. 10.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 4인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 일반 선형 미분방정식(OEDs)과 편미분방정식(PDEs)의 해를 제트 군집에 정의된 일阶 라그랑지안과 Sasaki 유사 반리만 계량을 갖춘 구조에서 전지오데식과 잠재력 맵으로 공식화한다. 주요 기여는 DE와 PDE의 해를 일阶 라그랑지안의 극값으로 표현하는 코바리언트 해밀턴계를 통해 기하학적 통합을 이룬 것으로, 로렌츠 세계력 법칙을 일반화하고 푸앵카레가 기하학적으로 벡터장 궤도를 지오데식으로 변환할 수 있는 구조를 찾는 고전 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Using parametrized curves (Section 1) or parametrized sheets (Section 3), and suitable metrics, we treat the jet bundle of order one as a semi-Riemann manifold. This point of view allows the description of solutions of DEs as pregeodesics (Section 1) and the solutions of PDEs as potential maps (Section 3), via Lagrangians of order one or via generalized Lorentz world-force laws. Implicitly, we solved a problem rised first by Poincaré: find a suitable geometric structure that converts the trajectories of a given vector field into geodesics (see also [6] - [11]). Section 2 and Section 3 realize the passage from the Lagrangian dynamics to the covariant Hamilton equations.

연구 동기 및 목표

• 일阶 라그랑지안을 이용해 ODE와 PDE의 해를 전지오데식과 잠재력 맵으로 변환하는 기하학적 프레임워크를 제공한다.
• 푸앵카레가 제기한 고전 문제를 해결한다: 벡터장 궤도를 지오데식으로 변환할 수 있는 기하학적 구조를 찾는 것.
• 로렌츠 세계력 법칙을 고차수 시스템으로 일반화하고, ODE와 PDE 모두에 대해 제트 군집 설정으로 확장한다.
• 제1차 제트 군집 상에서 다형시멘트릭 형식과 구분되는 해밀턴 물체를 사용해 PDE에 대한 코바리언트 해밀턴 형식을 수립한다.
• 반리만 기하학적 구조를 기반으로 한 동일한 기하학적 언어를 통해 DE와 PDE의 역학을 통합한다.

제안 방법

• 논문은 기저 계량 $ h $ on $ T $ 와 $ g $ on $ M $ 를 사용하여 제1차 제트 군집 $ J^1(T,M) $ 에 Sasaki 유사 계량 $ S_1 $ 을 구성함으로써, 이를 반리만 다양체로 만든다.
• Lorentz-Udri",
• 논문은 $ J^1(T,M) $ 상에 구분되는 해밀턴 물체 $ X_H $ 를 도입하여 $ X_H^eta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $ 를 만족시키며, 여기서 $ \tilde{\theta}_\beta $ 는 상대 리우빌 1형식이다.
• 메서드는 조건 $ X_H^\beta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $ 를 도입함으로써 코바리언트 해밀턴 PDE 시스템을 유도하며, 이는 $ u^{\beta i} $, $ \frac{\tilde{\theta} u^{\beta i}}{\tilde{\theta} t^\beta} $, 곡률 항을 포함하는 PDE 시스템을 이끈다.
• 비퇴화된 상대 2형식 $ \tilde{\theta} = \tilde{\theta}_\beta \bigotimes dt^\beta $ 를 도입함으로써 다형시멘트릭 구조를 일반화하며, $ \tilde{\theta}_\beta $ 는 리우빌 1형식에서 유도되며 $ \nabla_h X^k_\beta $ 와 $ \tilde{\theta} $ 를 포함하는 추가 항목들로 수정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 ODE의 해는 제트 군집 상의 일阶 라그랑지안에서 유도된 기하학적 구조에서 전지오데식으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 로렌츠 세계력 법칙은 어떻게 ODE의 해를 반리만 제트 군집 상의 전지오데식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 에너지와 힘 항이 일정하지 않은 PDE는 다형시멘트릭 구조를 사용해 제1차 제트 군집 상에서 코바리언트 해밀턴계로 재구성될 수 있는가?
• RQ4 제1차 제트 군집 $ J^1(T,M) $ 상의 Sasaki 유사 계량이 ODE와 PDE 해의 기하학적 기술을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제1차 제트 군집 상에 구분되는 해밀턴 물체 $ X_H $ 를 도입함으로써 일관된 코바리언트 해밀턴 PDE 시스템을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 벡터장 $ X^i $ 가 일정한 에너지를 가지며 임계점이 없을 경우, 일阶 ODE $ \frac{dx^i}{dt} = X^i(t,x) $ 의 해는 반리만 다양체 $ (J^1(T,M), S_1) $ 상의 전지오데식임이 입증된다.
• Lorentz-Udri",
• PDE $ h^{\beta\beta}x^i_{\beta\beta} = g^{ih}h^{\beta\beta}g_{kj}(\nabla_h X^j_\beta)X^k_\beta $ 의 코바리언트 해밀턴 PDE 시스템은 해밀턴 함수 $ H = \frac{1}{2}h^{\beta\beta}g_{ij}x^i_\beta x^j_\beta - f $ 를 통해 도출되며, 여기서 $ f $ 는 잠재적 에너지이다.
• 이 시스템은 비퇴화된 다형시멘트릭 형식 $ \Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha $ 에 의해 지배되며, 여기서 $ \Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\gamma X^i_\alpha)dt^\gamma \wedge dx^j)\sqrt{|h|} $ 이다.
• 유도된 해밀턴 PDE 시스템은 $ u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta $ 와 $ \frac{\delta u^{\alpha i}}{\delta t^\alpha} = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha $ 를 포함하며, 곡률 항에 대한 일致 조건이 존재한다.
• 논문은 PDE의 해와 일阶 라그랑지안의 극값 사이에 기하학적 대응을 수립함으로써, 푸앵카레가 오랫동안 제기한 문제인 벡터장 궤도를 기하학적으로 지오데식으로 변환하는 문제를 해결한다.