[논문 리뷰] Noncoercive Lyapunov functions for input-to-state stability of infinite-dimensional systems

Birgit Jacob, Andrii Mironchenko외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 44인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비강한 리아푸노프 함수의 존재성이 광범위한 무한차원 시스템에 대해 노름-적분 입력-상태 안정성(ISS)을 암시함을 증명하며, 약간의 정규성 조건 하에 이는 완전한 ISS로 이어진다. 저자들은 입력 연산자가 유계가 아닌 선형 시스템, 특히 딜레르흐 경계 제어를 갖는 열 방정식에 대해 이러한 리아푸노프 함수의 명시적 구성법을 제시하여, 이 시스템에 대해 리아푸노프 방법을 사용한 첫 번째 구성 사례를 이룩한다.

ABSTRACT

We consider an abstract class of infinite-dimensional dynamical systems with inputs. For this class, the significance of noncoercive Lyapunov functions is analyzed. It is shown that the existence of such Lyapunov functions implies norm-to-integral input-to-state stability. This property in turn is equivalent to input-to-state stability, if the system satisfies certain mild regularity assumptions. For a particular class of linear systems with unbounded admissible input operators, explicit constructions of noncoercive Lyapunov functions are provided. The theory is applied to a heat equation with Dirichlet boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 비강한 리아푸노프 함수—무한차원 시스템에서 흔히 나타나는 것—가 입력-상태 안정성(ISS)을 암시할 수 있는지 조사하는 것.
• 입력 연산자가 무한히 크거나 경계 제어 시스템을 포함하는 시스템으로 기존의 ISS 특성화를 확장하는 것.
• ∞-허용 가능한 입력 연산자를 갖는 선형 시스템에 대해 비강한 ISS 리아푸노프 함수의 명시적 구성법을 제공하는 것.
• 열 방정식에 대한 딜레르흐 경계 제어를 갖는 시스템에 대해 이론의 적용 가능성을 입증하기 위해 리아푸노프 함수를 구성하는 것.

제안 방법

• 저자들은 입력을 포함하는 일반적인 전진 완비 무한차원 제어 시스템의 클래스를 정의하며, 이는 반군에 의해 지배되는 시스템도 포함한다.
• 노름-적분 ISS라는 더 약한 안정성 개념을 도입하여, 비강한 리아푸노프 함수와 연결된다.
• 영점에서의 무한소 생성자의 해석자(resolvent)를 후보 연산자 P로 사용하여, 리아푸노프 함수 V(x) = -⟨A⁻¹x, x⟩_X를 구성한다.
• 이 V가 비강한 리아푸노프 함수이면, 시스템이 노름-적분 ISS임을 증명한다.
• 유연성 있는 정규성 가정 하에, 노름-적분 ISS와 완전한 ISS 사이의 동치성을 확립한다: 원점 근처에서의 흐름 연속성과 유한시간 도달 가능 집합의 유계성.
• 이 이론을 일차원 열 방정식에 적용하여, ISS 추정치를 검증하고 명시적으로 리아푸노프 함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비강한 리아푸노프 함수가 비강성 조건이 실패할 때 무한차원 시스템에서 입력-상태 안정성(ISS)을 암시할 수 있는가?
• RQ2 노름-적분 ISS가 완전한 입력-상태 안정성으로 이르는 조건은 무엇인가?
• RQ3 입력 연산자가 무한한 선형 시스템에 대해 비강한 리아푸노프 함수를 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크를 사용하여 딜레르흐 경계 제어를 갖는 열 방정식에 대해 ISS 리아푸노프 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 해석적 반군에 대해 이러한 리아푸노프 함수를 구성할 때 영점에서의 해석자가 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 비강한 리아푸노프 함수의 존재성은 광범위한 무한차원 시스템에 대해 노름-적분 ISS를 암시한다.
• 시스템의 흐름이 원점 근처에서 연속이고, 유한시간 도달 가능 집합이 유계이면, 노름-적분 ISS는 완전한 ISS와 동치이다.
• ∞-허용 가능한 입력 연산자를 갖는 선형 시스템에 대해, 리아푸노프 함수 V(x) = -⟨A⁻¹x, x⟩_X는 비강성이며, 생성자 A에 대한 적절한 스펙트럼 조건 하에 ISS를 암시한다.
• 딜레르흐 경계 제어를 갖는 일차원 열 방정식에 대해 구성된 리아푸노프 함수는 리아푸노프 방법을 사용한 이 시스템에 대해 첫 번째 명시적 구성 사례이다.
• 이 논문은 하위정규 생성자를 갖는 해석적 시스템에 대해 비강한 ISS 리아푸노프 함수를 체계적으로 구성하는 프레임워크를 제공한다.
• 기존의 강한 리아푸노프 함수가 실패하는 시스템에도 적용 가능하여, 무한차원에서의 안정성 분석에 실용적인 대안을 제공한다.