[논문 리뷰] Noncommutative numerical motives, Tannakian structures, and motivic Galois groups

Matilde Marcolli, Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비가환 수치적 모티브에 대해 Tannakian 구조를 수립하기 위해, 주기적 순환 homology를 대칭 모노이드 함수자로 사용하면서 Grothendieck의 표준 추측 C와 D의 비가환 대응을 도입한다. 이 추측들 하에 비가환 수치적 모티브의 범주가 Tannakian이 되고, 잘 정의된 모티브 Galois 군을 갖게 되며, 이들은 Deligne-Milne의 Tate 삼중체 이론을 통해 고전적 모티브 Galois 군과 관련된다.

ABSTRACT

In this article we further the study of noncommutative numerical motives. By exploring the change-of-coefficients mechanism, we start by improving some of our previous main results. Then, making use of the notion of Schur-finiteness, we prove that the category NNum(k)_F of noncommutative numerical motives is (neutral) super-Tannakian. As in the commutative world, NNum(k)_F is not Tannakian. In order to solve this problem we promote periodic cyclic homology to a well-defined symmetric monoidal functor HP on the category of noncommutative Chow motives. This allows us to introduce the correct noncommutative analogues C_NC and D_NC of Grothendieck's standard conjectures C and D. Assuming C_NC, we prove that NNum(k)_F can be made into a Tannakian category NNum'(k)_F by modifying its symmetry isomorphism constraints. By further assuming D_NC, we neutralize the Tannakian category NNum'(k)_F using HP. Via the (super-)Tannakian formalism, we then obtain well-defined noncommutative motivic (super-)Galois groups. Finally, making use of Deligne-Milne's theory of Tate triples, we construct explicit homomorphisms relating these new noncommutative motivic (super-)Galois groups with the classical ones.

연구 동기 및 목표

• 비가환 모티브에 대해 Tannakian 체계를 확장하기 위해, 비가환 수치적 모티브의 범주가 Tannakian이 되지 못하는 실패를 해결하는 것.
• 표준 추측 C와 D의 비가환 대응인 $C_{NC}$와 $D_{NC}$를 정의하여 Tannakian 구조를 복원하는 것.
• 비가환 모티브 (슈퍼-)Galois 군을 (슈퍼-)Tannakian 체계를 통해 구축하고, 이를 고전적 모티브 Galois 군과 연결하는 것.
• Deligne-Milne의 Tate 삼중체 이론을 사용하여 비가환 모티브 Galois 군과 고전적 모티브 Galois 군 사이의 다리를 놓는 것.

제안 방법

• 이전의 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$의 준소분해 성질에 대한 결과를 향상시키기 위해 계수 전환 메커니즘을 도입한다.
• Schur-유한성의 성질을 이용하여, 특성 0인 체 $F$ 위에서 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$가 (중립적) 슈퍼-Tannakian임을 증명한다.
• 주기적 순환 homology를 사용하여 비가환 Chow 모티브에서 그레디에이션된 $F$-벡터 공간으로의 잘 정의된 대칭 모노이드 함수자 $\overline{HP_{\ast}}$를 구성한다.
• 비가환 표준 추측 $C_{NC}$와 $D_{NC}$를 정의하여, 수정된 대칭 이soomorphism 제약 조건을 통해 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$가 Tannakian이 될 수 있도록 보장하는 조건으로 삼는다.
• $C_{NC}$ 하에 구성된 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$에 Tannakian 체계를 적용하여, $D_{NC}$ 하에서 $\overline{HP_{\ast}}$에 의해 중립화된 Tannakian 범주를 얻는다.
• Deligne-Milne의 Tate 삼중체 이론을 활용하여 비가환 모티브 (슈퍼-)Galois 군에서 고전적 군으로의 명시적 준동형사를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 $F$에 대해 범주 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$는 (중립적) 슈퍼-Tannakian인가?
• RQ2 Grothendieck의 표준 추측 $C$의 비가환 대응인 $C_{NC}$가 존재하는가? 그리고 이는 수정된 대칭 이soomorphism 제약 조건을 통해 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$를 Tannakian으로 만들 수 있는가?
• RQ3 표준 추측 $D$의 비가환 대응인 $D_{NC}$가 존재하는가? 그리고 이는 Tannakian 범주 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$를 중립화하는가?
• RQ4 비가환 모티브 (슈퍼-)Galois 군은 고전적 모티브 Galois 군과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 체수 $F$가 특성 0이고 $k$, $F$가 정리 4.6의 조건을 만족할 경우, 범주 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$는 (중립적) 슈퍼-Tannakian이다.
• 비가환 표준 추측 $C_{NC}$ 하에서, $\operatorname{NNum}(k)_{F}$는 대칭 이soomorphism 제약 조건을 수정함으로써 Tannakian 범주 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$로 업그레이드될 수 있다.
• $D_{NC}$를 가정할 경우, Tannakian 범주 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$는 주기적 순환 homology 함수자 $\overline{HP_{\ast}}$에 의해 중립화되어, 프로-대수적 군의 표현 범주와 동치가 된다.
• 비가환 모티브 Galois 군 $\mathrm{Gal}(\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F})$는 Tannakian 체계를 통해 구성되며, $\overline{HP_{\ast}}$-표현의 Tannakian 군과 동형임을 보여준다.
• Deligne-Milne의 Tate 삼중체 이론을 활용하여 비가환 모티브 (슈퍼-)Galois 군에서 고전적 군으로의 명시적 준동형사를 구성한다.
• 결과적으로 비가환 모티브와 고전적 모티브 Galois 군 사이에 정확한 연결고리가 확립되며, 고전적 Tannakian 체계가 비가환 설정으로 확장됨을 보여준다.