[논문 리뷰] Noncommutative quantum mechanics as a constrained system

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|2001. 12. 07.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환 양자역학(NQM)이 확장된 구성공간에서 제2종 제약을 가진 계의 캐논ical 양자화로부터 유도됨을 보여준다. 보조 변수와 제2종 제약을 포함하는 라그랑지안 작용을 정의함으로써 디르아크 브라켓 절차는 비가환 위치 브라켓을 자연스럽게 도출하며, 모일 스타 곱에 의존하지 않고 원래의 비가환 변수를 직접 양자화할 수 있게 한다.

ABSTRACT

It is shown that quantum mechanics on noncommutative spaces (NQM) can be obtained by the canonical quantization of some underlying second class constrained system formulated in extended configuration space. It leads, in particular, to an intriguing possibility of quantization in terms of the initial (noncommutative) variables. Two different formulations are discissed. The first one is appropriate for at most quadratic potential. The noncommutativity parameter and rank of matrix of the constraint brackets depend on the potential. It explains appearance of two phases of the resulting NQM. The second formulation is appropriate for an arbitrary potential. In both cases the corresponding Lagrangian action is presented and quantized, which leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

연구 동기 및 목표

• 제2종 제약 시스템을 기반으로 비가환 양자역학(NQM)의 캐논ical 프레임워크를 수립하기 위해.
• 기존의 변환된 가환 변수가 아닌 원래의 비가환 변수를 기반으로 NQM을 양자화하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 고차 도함수 작용을 피하면서도 임의의 포텐셜을 갖는 NQM을 재현하는 라그랑지안 형태를 제공하기 위해.
• 표준 모일 곱 형태의 양자화가 디르아크 브라켓 양자화를 통해 자연스럽게 유도됨을 보여주기 위해.
• 기존의 스타 곱 형식을 피하고 비가환 변수 그 자체에서 직접 첫 번째 계약 제약 양자화 또는 게이지 고정과 같은 대체 양자화 체계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 변수 $x_a$ 와 보조 변수 $v_a$ 를 포함하는 확장된 구성공간에서의 라그랑지안 작용을 정의하며, 체인-시몬스 유사 항과 포텐셜 에너지를 포함한다.
• 해밀토니안 형태에서 주된 제약 $G_a = p_a + 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$ 과 보조 제약 $T_a = \tilde{p}_a - 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$ 를 식별한다.
• 물리적 자유도를 제거하기 위해 디르아크 브라켓을 구성함으로써 비자명한 $\{x_a, x_b\}_D = \theta \epsilon_{ab}$ 를 도출하며, 이는 비가환 구조를 재현한다.
• 비가환 변수 $x_a$ 와 $p_a$ 를 기반으로 물리 해밀토니안을 유도하며, 이는 이차 포텐셜의 경우 $\partial_a U \partial_a U$ 비례 항이 포텐셜에 수정됨을 보여준다.
• 일반적인 포텐셜에 대해서는 $\dot{v}^2$ 항을 생략한 단순화된 작용을 사용하여, 주된 제약이 $v_a$ 에만 의존하도록 하며 도함수에 의존하는 브라켓을 피한다.
• 디르아크 브라켓 대수에 표준 캐논ical 양자화를 적용함으로써 표준 NQM과 모일 곱을 회복하거나, 원래의 비가환 변수에서 직접 양자화를 수행할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 양자역학(NQM)은 제약이 있는 기계적 계의 캐논ical 양자화로부터 유도될 수 있는가?
• RQ2 제1차 라그랑지안 형태에서 제2종 제약이 비가환 구조 $\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$ 를 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 원래의 비가환 변수 $x_a$ 를 직접 사용하여 NQM을 양자화할 수 있는가? 이는 표준 스타 곱 형식을 피하는 데서 비롯된다.
• RQ4 보조 변수 $v_a$ 는 비가환성을 생성하고 일반 포텐셜에 대해 일관성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기존의 첫 번째 계약 제약 양자화 또는 게이지 고정과 같은 대체 양자화 체계를 제약이 있는 NQM 시스템에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 비가환성 매개변수 $\theta$ 는 $\theta = \bar{\theta} \cdot \det^{-1}(1 - \frac{m\bar{\theta}^2}{4} \partial\partial U)$ 로 동적으로 생성되며, 포텐셜의 이阶 도함수에 의존한다.
• 이차 포텐셜의 경우 물리 해밀토니안은 $H_{\text{ph}} = \frac{1}{2m}\tilde{p}^2 - \frac{m\bar{\theta}^2}{8} \partial_a U \partial_a U + U(F^{-1}(\tilde{x} - \frac{1}{2}\theta \tilde{p}))$ 로 표현되며, 재정의된 효과적 포텐셜을 포함한다.
• 포텐셜에 대한 의존성으로 인해 시스템은 두 개의 구분되는 상태를 보이며, 분모의 행렬식이 0이 되는 순간에 상전이가 발생한다.
• 일반적인 포텐셜에 대해서는 작용 $S = \int d\tau [2(\dot{v}-\dot{x})\theta^{-1}v - \frac{2}{m\bar{\theta}^2}v^2 - V(x)]$ 가 $\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$ 와 해밀토니안에서 표준 모일 곱을 정확히 재현한다.
• 표준 NQM 형태로의 복귀를 위한 캐논ical 변수 $\tilde{x}_a = x_a + \frac{1}{2}\theta_{ab}p_b$, $\tilde{p}_a = p_a$ 를 정의함으로써 등가성을 증명한다.
• 이 형태는 비가환 변수에서 직접 첫 번째 계약 제약 양자화를 가능하게 하며, 예를 들어 파동함수에 $G_a = 0$ 을 조건으로 적용함으로써 스타 곱을 완전히 피할 수 있다.