[논문 리뷰] Noncommutative relativistic particle

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|2002. 07. 30.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비틀림 없는 비아벨 장 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 를 비완전성 매개변수로 도입하여 명백한 포앙카레 불변성을 갖는 비가환 상대론적 입자를 제안한다. 이 모델은 국소 대칭성을 지녀 $\theta^{0i}=0$, $\theta^{ij}=\text{const}$ 로 게이지 고정할 수 있으며, 이로 인해 $\{x^\mu,x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ 를 만족하는 비가환 양상공간을 형성한다. 주요 기여는 비가환 상대론역학의 포앙카레 불변성 표현과 게이지 고정된 이론에서 대칭의 명시적 실현이다.

ABSTRACT

Noncommutative version of D-dimensional relativistic particle is proposed. We consider the particle interacting with the configuration space variable $θ^{μν}(τ)$ instead of the numerical matrix. The corresponding Poincare invariant action has a local symmetry, which allows one to impose the gauge $θ^{0i}=0, ~ θ^{ij}=const$. The matrix $θ^{ij}$ turns out to be the noncommutativity parameter of the gauge fixed formulation. Poincare transformations of the gauge fixed formulation are presented in the manifest form.

연구 동기 및 목표

• D 차원에서 비가환 상대론적 입자의 명백한 포앙카레 불변 표현을 구축하는 것.
• 고정된 수치적 $\theta^{\mu\nu}$ 와의 갈등을 해결하기 위해 $\theta^{\mu\nu}$ 를 동적 장 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 로 승격시키는 것.
• 공간 영역에서 비가환성 매개변수 $\theta^{ij}$ 가 일정한 물리적 이론을 얻기 위한 게이지 고정 절차를 구현하는 것.
• 게이지 고정된 이론에서 포앙카레 변환의 명시적 형태를 유도하여, 그들이 국소 대칭과 전역 대칭의 조합임을 보여주는 것.
• 물리적 관측량 $x^\mu$, $p^\mu$ 에 대해 비가환 양상공간의 일관성을 확인하기 위해 딜라크 브라켓의 구조를 확립하는 것.

제안 방법

• 비틀림 없는 비아贝尔 장 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 를 포함한 제1형식 작용을 도입하여 명백한 포앙카레 불변성과 재매개변수화 불변성을 확보한다.
• 비가환성을 생성하기 위해 $\frac{1}{\theta^2}\dot{v}_\mu \theta^{\mu\nu} v_\nu$ 와 유사한 초전도체 유사 항을 포함한다.
• 해밀턴 형식에서 주요 및 보조 제약 조건을 식별하며, $G^\mu = p^\mu - v^\mu = 0$, $T^\mu = \pi^\mu - \frac{1}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}v_\nu = 0$, $v^2 - m^2 = 0$ 을 포함한다.
• 두 번째 유형의 제약 조건을 다루기 위해 딜라크 브라켓 형식을 사용하여 비자명한 파울리-브라켓 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ 를 유도한다.
• 게이지 조건 $\theta^{0i} = 0$, $\theta^{ij} = \text{const}$ 를 적용하며, 이는 $\theta_{ij}\theta_{ji} \neq 0$ 라면 허용 가능하다. 라그랑주 승수를 구한다.
• 물리적 운동 방정식 $\dot{x}^\mu = e p^\mu$, $\dot{p}^\mu = 0$ 과 변형된 포앙카레 대칭 $\delta x^\mu = \omega^\mu_\nu x^\nu + \frac{1}{\theta^2} p_\nu \omega^{[\nu}_\rho \theta^{\rho\mu]}$, $\delta p^\mu = \omega^\mu_\nu p^\nu$ 을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환성 매개변수 $\theta^{\mu\nu}$ 가 상수일 수 없는 경우 비가환 상대론적 입자를 포앙카레 불변성으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 역동적 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 장이 국소 대칭을 유지하고 일관된 게이지 고정을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 게이지 고정된 이론에서 포앙카레 변환은 어떻게 전역 대칭과 국소 대칭의 조합으로 나타나는가?
• RQ4 물리적 영역에서 딜라크 브라켓의 구조는 어떠한가? 그리고 이는 비가환 대수 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ 를 어떻게 도출하는가?
• RQ5 게이지 고정된 이론이 포앙카레 불변성을 유지할 수 있는가? 만약 그렇다면 대칭은 어떻게 명시적으로 실현되는가?

주요 결과

• 모델은 비틀림 없는 비아벨 장 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 를 포함한 명백한 포앙카레 불변 작용을 지닌다. 이는 고정된 수치적 $\theta^{\mu\nu}$ 를 대체한다.
• 게이지 조건 $\theta^{0i} = 0$, $\theta^{ij} = \text{const}$ 는 허용 가능하며, 이로 인해 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ 를 만족하는 비가환 양상공간이 형성되며, 여기서 $\theta^2 = \theta^{\mu\nu}\theta_{\mu\nu}$ 이다.
• 게이지 고정된 이론에서 물리적 운동 방정식은 $\dot{x}^\mu = e p^\mu$ 와 $\dot{p}^\mu = 0$ 이며, $p^2 - m^2 = 0$ 이 제약 조건으로 존재한다.
• 게이지 고정된 이론의 포앙카레 대칭은 전역 포앙카레 변환과 매개변수 $\epsilon^{\mu\nu}(\omega) = \frac{1}{\theta^2}\omega^{[\mu}_\rho \theta^{\rho\nu]}$ 를 갖는 보정 국소 변환의 조합으로 실현되며, 이는 게이지 불변성을 보장한다.
• 딜라크 브라켓의 구조는 $x^\mu$ 와 $p^\mu$ 가 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$ 를 만족하는 일관된 비가환 양상공간을 형성함을 확인한다. 또한 $\{x^\mu, p^\nu\} = \delta^\mu_\nu$ 와 $\{p^\mu, p^\nu\} = 0$ 이다.
• 최종 이론은 공간 영역에서 잘 정의된 비가환성 매개변수 $\theta^{ij}$ 를 갖는 일관되고 포앙카레 불변인 비가환 상대론적 입자 이론이며, 게이지 고정된 역학으로부터 유도된다.