[논문 리뷰] Nonexistence of Generalized Bent Functions From $Z_{2}^{n}$ to $Z_{m}$

Haiying Liu, Keqin Feng외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대수적 수론, 특히 원분체와 허수 정수환을 사용하여 $\mathbb{Z}_2^n$에서 $\mathbb{Z}_m$로의 일반화된 벤트 함수(GBF)의 존재하지 않음을 증명한다. $m$이 홀수 소수 거듭제곱이거나, $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ 이며 $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$, $p_2 \equiv 5 \pmod{8}$, $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = 1$인 경우에, 특히 $n$이 홀수거나 계급군 불변량에 비해 작을 때, 유형 $\{m,n\}$에 대한 GBF는 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

Several nonexistence results on generalized bent functions $f:Z_{2}^{n} ightarrow Z_{m}$ presented by using some knowledge on cyclotomic number fields and their imaginary quadratic subfields.

연구 동기 및 목표

• 다양한 $m$과 $n$에 대해 $\mathbb{Z}_2^n$에서 $\mathbb{Z}_m$로의 일반화된 벤트 함수(GBF)의 존재 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 불리안 벤트 함수 사례($m=2$)를 초월하여 더 높은 $m$에 대한 기존의 존재하지 않음 결과를 확장하기 위해.
• 대수적 수론—특히 원분체와 계급군 구조—을 적용하여 새로운 존재하지 않음 정리를 도출하기 위해.
• 특히 $n$이 홀수이거나 $m$이 특정한 소인수 분해를 가질 때, GBF가 존재하지 않는 조건을 규명하기 위해.
• 원분체 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$에서 분해체와 허수 정수부분체로의 필드 내림 기법을 사용하여 이전 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• GBF일 경우 정확히 $2^{n/2}$가 되어야 하는 푸리에 변환 $W_f(y) = \sum_{x \in \mathbb{Z}_2^n} (-1)^{x \cdot y} \zeta_m^{f(x)}$를 사용하며, $\zeta_m = e^{2\pi i/m}$이다.
• $W_f(y)$의 값을 원분체 $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$의 정수환 $\mathbb{Z}[\zeta_m]$에 속하는 대수적 정수로 분석한다.
• 분해체 이론과 허수 정수부분체 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$에서 유도된 소수의 분해 법칙을 적용한다.
• 필드 내림 기법을 사용한다: 먼저 $K$에서 2의 분해체 $M$으로, 그 다음 $M$에서 노름 사상으로 허수 정수부분체 $T$로 내림한다.
• 특히 소 아이디얼의 순서와 비주어진 아이디얼의 존재성을 포함한 부분체 $T$의 아이디얼 계급군의 구조를 사용하여, GBF가 존재한다고 가정했을 때 모순을 이끌어낸다.
• 이중 상호법칙과 레지오드 기호 조건, 예를 들어 $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \pm 1$을 적용하여 $x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$와 같은 디오판틴 방정식의 해가 존재할 수 있는지를 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $m$과 $n$이 일반화된 벤트 함수 $f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_m$가 존재하지 않을까?
• RQ2 $p$가 홀수 소수이고 $n$이 홀수일 때, $m = p^a$에 대해 GBF의 존재하지 않음을 증명할 수 있는가?
• RQ3 허수 정수부분체의 계급군 구조가 GBF의 존재하지 않음에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $\mathcal{O}_T$에서 소수의 분해 법칙과 관련된 디오판틴 방정식의 해가 존재 가능성은 GBF의 존재에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 원분체 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$에서 $T$로의 필드 내림 기법을 복합적인 $m$에 대해 체계적으로 적용하여 존재하지 않음 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $p^a$가 홀수 소수 거듭제곱이고 $n \geq 1$일 때, 어떤 $n$에 대해서도 유형 $\{p^a, n\}$의 일반화된 벤트 함수가 존재하지 않으며, 이는 원분체 이론과 계급수 논증을 통해 증명된다.
• $m = 2p^a$ 이며 $p \equiv 3,5 \pmod{8}$ 또는 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 이고 2가 $\mathbb{Z}_p^*$에서 짝수 차수를 가지는 경우, $n$이 홀수일 때 GBF는 존재하지 않는다.
• $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ 이며 $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$, $p_2 \equiv 5 \pmod{8}$, $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = 1$일 때, $n$이 홀수거나 $n < r/s$인 경우 GBF는 존재하지 않는다. 여기서 $r$는 $x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$의 최소 해 지수이다.
• $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ 이며 모든 $p_i \equiv 3 \pmod{8}$ 또는 모든 $p_i \equiv 5 \pmod{8}$일 때, $n$이 홀수인 경우 GBF는 존재하지 않는다.
• 필요한 대수적 정수 $W_f(y)$가 허수 정수부분체 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$의 계급군에 의한 차단으로 인해 $\mathbb{Z}[\zeta_m]$에 존재할 수 없음을 보여줌으로써 존재하지 않음을 도출한다.
• $m = 2 \cdot 19^{a_1} \cdot 29^{a_2}$인 명시적 예시에서 $n = 1,3,5,7,9,11$일 때 GBF가 존재하지 않음을 보여주며, 이는 $19x^2 + 29y^2 = 2^{l+2}$가 $l < 13$일 때 해가 존재하지 않기 때문이다. $r = 13$은 방정식이 해를 가지는 최소 지수이다.