[논문 리뷰] Nonlinear Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction Diffusion PDEs.

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 18.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1차원 반응-확산 PDE를 안정화하기 위한 유한차원 관측기 기반 출력 피드백 제어기를 제안한다. 경계 조건은 로빈 경계 조건이며, 경계 입력에 섹터 유한성 비선형성이 존재한다. 제어 입력의 시간 도함수를 사용하지 않고 리아푸노프 간접 방법을 적용함으로써, 관측기 차원이 충분히 크고 비선형성이 특정 섹터 크기 내에 있을 경우 닫힌 루프 안정성이 확보됨을 입증한다.

ABSTRACT

This paper studies the design of a finite-dimensional output feedback controller for the stabilization of a reaction-diffusion equation in the presence of a sector nonlinearity in the boundary input. Due to the input nonlinearity, classical approaches relying on the transfer of the control from the boundary into the domain with explicit occurrence of the time-derivative of the control cannot be applied. In this context, we first demonstrate using Lyapunov direct method how a finite-dimensional observer-based controller can be designed, without using the time derivative of the boundary input as an auxiliary command, in order to achieve the boundary stabilization of general 1-D reaction-diffusion equations with Robin boundary conditions and a measurement selected as a Dirichlet trace. We extend this approach to the case of a control applying at the boundary through a sector nonlinearity. We show from the derived stability conditions the existence of a size of the sector (in which the nonlinearity is confined) so that the stability of the closed-loop system is achieved when selecting the dimension of the observer large enough.

연구 동기 및 목표

• 제어 입력의 시간 도함수를 필요로 하는 전통적 제어 방법이 불가능한, 경계 입력 비선형성이 존재하는 반응-확산 PDE의 안정화 문제를 해결한다.
• 제어 입력의 시간 도함수를 직접적으로 사용하지 않는, 유한차원 관측기를 활용한 출력 피드백 제어기를 개발한다.
• 경계 입력에 섹터 유한성 비선형성이 존재하는 시스템으로 안정화 프레임워크를 확장한다.
• 닫힌 루프 시스템이 안정성을 유지하는 조건, 특히 관측기 차원과 비선형성의 허용 가능한 섹터 크기 조건을 규명한다.

제안 방법

• 제어 입력의 시간 도함수를 요구하지 않는 리아푸노프 간접 방법을 활용하여 안정성 증명을 수립한다.
• 경계에서의 딜리클레 추적 측정값으로부터 시스템 상태를 추정하기 위한 유한차원 관측기를 설계한다.
• 관측기 기반 상태 추정치를 경계에 적용된 섹터 비선형성이 존재하는 피드백 제어 법칙에 통합한다.
• 관측기 차원과 비선형성의 섹터 크기와 닫힌 루프 안정성 간의 관계를 보장하는 충분한 안정성 조건을 유도한다.
• 로빈 경계 조건을 갖는 반응-확산 PDE의 구조를 활용하여 안정성 분석을 위한 리아푸노프 함수의 존재를 보장한다.
• 관측기 차원을 증가시킴으로써, 비선형성이 유한한 섹터 내에 존재하더라도 안정화가 가능함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 관측기 기반 출력 피드백 제어기는 1차원 반응-확산 PDE를 로빈 경계 조건과 경계 입력 비선형성이 존재하는 경우 안정화할 수 있는가?
• RQ2 섹터 유한성 비선형성이 존재하는 상황에서 제어 입력의 시간 도함수에 의존하지 않고도 안정화가 가능한가?
• RQ3 주어진 비선형성 섹터 크기에 대비하여 시스템을 안정화하기 위해 필요한 최소 관측기 차원은 얼마인가?
• RQ4 비선형성을 포함하는 섹터의 크기가 닫힌 루프 시스템의 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 리아푸노프 기반 안정성 분석이 닫힌 루프 시스템의 원점에 대해 점점 수렴하는 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유한차원 관측기 기반 출력 피드백 제어기는 1차원 반응-확산 PDE를 로빈 경계 조건과 경계 입력 비선형성이 존재하는 경우 안정화할 수 있다.
• 제어 입력의 시간 도함수가 필요 없기 때문에, 이러한 도함수가 존재하지 않거나 정의되지 않는 시스템에도 적용 가능하다.
• 관측기 차원이 비선형성의 섹터 크기와 비교하여 충분히 크면 닫힌 루프 시스템의 안정성이 보장된다.
• 비선형성은 특정 크기의 섹터 내에 제한되어야 하며, 이 경계는 리아푸노프 분석을 통해 유도된 안정성 조건에 의해 결정된다.
• 닫힌 루프 시스템에 대해 리아푸노프 함수의 존재는 제안된 제어 법칙 하에서 원점의 점근적 안정성을 확인한다.
• 이 방법은 딜리클레 추적 측정값과 경계 제어를 갖는 일반적인 1차원 반응-확산 방정식으로도 확장 가능하다.