[논문 리뷰] Nonlinear Hawkes Processes

Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 28.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 82인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 비선형 하크스 과정에 대해 중심극한정리와 과정 수준의 대 deviations를 수립하며, 복선, 준임계, 임계, 초임계, 폭발적이라는 제도 기반 분류를 도입하고 점점 더 큰 행동과 파산 확률 추정치를 도출한다. 일반 조건 하에서 비율 함수에 대한 명시적 변분 공식을 제공하고, 고전 결과를 비마르코프, 자기흥분성 점과정으로 확장하며, 위험 이론과 확률 모델링에의 적용을 포함한다.

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process that has long memory, clustering effect, self-exciting property and is in general non-Markovian. The future evolution of a self-exciting point process is influenced by the timing of the past events. There are applications in finance, neuroscience, genome analysis, seismology, sociology, criminology and many other fields. We first survey the known results about the theory and applications of both linear and nonlinear Hawkes processes. Then, we obtain the central limit theorem and process-level, i.e. level-3 large deviations for nonlinear Hawkes processes. The level-1 large deviation principle holds as a result of the contraction principle. We also provide an alternative variational formula for the rate function of the level-1 large deviations in the Markovian case. Next, we drop the usual assumptions on the nonlinear Hawkes process and categorize it into different regimes, i.e. sublinear, sub-critical, critical, super-critical and explosive regimes. We show the different time asymptotics in different regimes and obtain other properties as well. Finally, we study the limit theorems of linear Hawkes processes with random marks.

연구 동기 및 목표

• 비선형 하크스 과정의 이론적 이해를 선형, 마르코프 경우를 초월하여 확장하기 위해.
• 일반적인 비선형 하크스 과정에 대해 중심극한정리와 과정 수준(레벨-3) 대 deviations 원리를 수립하기 위해.
• 흥분 및 강도 함수에 기반하여 비선형 하크스 과정을 다섯 가지 점점 더 큰 행동 제도로 분류하기 위해.
• 지수적 청구가 있는 표식이 있는 하크스 위험 과정에 대해 명시적인 대 deviations 비율 함수와 파산 확률 추정치를 도출하기 위해.
• 마르코프 경우에서 비율 함수에 대한 변분 공식을 제공하고, 최소한의 가정 하에서 대 deviations 원리를 증명하기 위해.

제안 방법

• 마르코프 및 기능적 극한정리 기법을 사용하여 비선형 하크스 과정의 중심극한정리를 유도한다.
• 수축 원리를 적용하여 과정 수준(레벨-3) 대 deviations에서 레벨-1 대 deviations 원리를 도출한다.
• 지수적 기울임과 초초등적 추정치를 통해 레벨-3 대 deviations의 하한 및 상한을 확립한다.
• 강도 함수 λ(z)의 성장과 흥분 커널 h(t)의 감쇠에 기반한 제도 분류를 도입한다.
• 특수한 비선형 하크스 과정에 대해 근사 접근법을 사용하여 대 deviations를 도출한다.
• 변분 방법을 적용하고 은폐된 방정식을 해결하여 지수적 경우에서 비율 함수의 명시적 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복선, 임계, 폭발적 경우와 같은 다양한 매개변수 제도에서 비선형 하크스 과정의 점점 더 큰 행동은 어떠한가?
• RQ2 중심극한정리와 대 deviations 원리는 비선형, 비마르코프 하크스 과정으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 지수적 흥분이 있는 마르코프 경우에서 레벨-1 대 deviations의 비율 함수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 표식이 있는 하크스 청구 도착과 지수적 청구 규모를 가진 위험 모델에서 파산 확률은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 청구 규모와 청구 도착 강도가 모두 지수적으로 분포할 경우, 무한 및 유한 수명 파산 확률에 대한 명시적 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 조건 하에서 비선형 하크스 과정에 대해 중심극한정리가 성립하며, 정규 과정으로 수렴한다.
• 초초등적 추정치와 변분 기법을 통해 과정 수준의 대 deviations 원리가 수립된다.
• 마르코프 경우에서 비율 함수에 대한 대안적 변분 공식이 도출되어 대 deviations 비율에 대한 새로운 표현이 제공된다.
• 폭발적 제도에서는 강도 과정이 거의 확실히 유한 시간 내에 발산하는 반면, 복선 제도에서는 선형 이하로 성장한다.
• 지수적 청구가 있는 표식이 있는 하크스 위험 과정에 대해, 무한 수명 파산 확률은 u → ∞ 일 때 ψ(u) ∼ C · B̄₀(u) 를 만족하며, 명시적 상수 C 가 존재한다.
• 청구 규모와 흥분 커널이 모두 지수적일 경우, 비율 함수 I(x) 는 로그 및 제곱근 항을 포함하는 조각별 표현으로 명시적으로 계산된다.