[논문 리뷰] Nonlinear model reduction on metric spaces. Application to one-dimensional conservative PDEs in Wasserstein spaces

Virginie Ehrlacher, Damiano Lombardi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 14.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 73인용 수 38

한 줄 요약

본 논문은 매개변수화된 PDE에 대한 비선형 모델 축소를metric 공간에서 개발하며, Wasserstein 공간에 초점을 맞추고, 해 집합을 효율적으로 근사하기 위해 두 가지 데이터 기반 접근법(tangent-space PCA와 barycenter-based)을 도입한다.

ABSTRACT

We consider the problem of model reduction of parametrized PDEs where the goal is to approximate any function belonging to the set of solutions at a reduced computational cost. For this, the bottom line of most strategies has so far been based on the approximation of the solution set by linear spaces on Hilbert or Banach spaces. This approach can be expected to be successful only when the Kolmogorov width of the set decays fast. While this is the case on certain parabolic or elliptic problems, most transport-dominated problems are expected to present a slow decaying width and require to study nonlinear approximation methods. In this work, we propose to address the reduction problem from the perspective of general metric spaces with a suitably defined notion of distance. We develop and compare two different approaches, one based on barycenters and another one using tangent spaces when the metric space has an additional Riemannian structure. As a consequence of working in metric spaces, both approaches are automatically nonlinear. We give theoretical and numerical evidence of their efficiency to reduce complexity for one-dimensional conservative PDEs where the underlying metric space can be chosen to be the $L^2$-Wasserstein space.

연구 동기 및 목표

• Banach/Hilbert 공간을 넘어 수송 지배 문제에 대한 모델 축소를 동기화한다.
• 이동 및 시프트를 포착하기 위해 일반 metric 공간에서의 비선형 축소 방법을 제시한다.
• 1D에서의 L2-Wasserstein 공간으로 프레임워크를 특수화하고 이론적 이점을 분석한다.
• 간단한 PDE에 대한 수치적 증거를 통해 개선된 근사 특성을 보여준다.

제안 방법

• metric 공간에서의 두 가지 비선형 축소 전략을 도입한다: 하나는 접선(tangents) 기반(tPCA)이고 다른 하나는 barycenter 기반(gBar)이다.
• 해 공간(Wasserstein space)에서의 지수/로그 맵을 사용하여 축소를 위한 해 집합을 변환한다.
• Wasserstein 공간에서 스냅샷 집합의 barycenters를 최적 가중치로 정의하고 계산한다.
• Log_w로 해 집합을 변환하면 운반 문제에서 Kolmogorov 너비의 빠른 감소를 보인다.
• (P2(Omega), W2)와 (I, ||·||_L2) 사이의 등거리성을 이용하여 변환 후 유클리드 설정에서 축소를 수행한다.
• 원래 PDE를 감소된 공간에서 온라인으로 풀지 않는 순수 데이터 기반 온라인 단계 를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 metric 공간에서의 모델 축도가 수송-지배 PDE에 대해 선형 방법보다 우수한가?
• RQ2 tPCA와 barycenter 기반 축소가 Wasserstein 공간에서 효과적인 저차원 표현을 제공하는가?
• RQ3 로그/로그 변환이 1D 보존 PDE의 해의 매니폴드의 Kolmogorov 너비에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 비선형 축소가 Burgers, Camassa-Holm, KdV형 방정식의 계산 비용과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 순수한 수송 문제에 대해 변환된 너비 d_n(T, L2([0,1]))는 n>1일 때 0에 수렴하는 반면, 원래의 너비 d_n(M, L2(Omega))는 n^-1/2 이상으로 감소하지 않는다.
• Viscous Burgers’ 방정식 예시는 비선형 metric 기반 축소가 선형 방법보다 우수할 수 있음을 시사하는 사전 너비 감소 특성을 보여준다.
• Burgers’, Camassa-Holm, KdV에 대한 수치 실험은 tPCA와 gBar가 운반 현상을 훨씬 낮은 온라인 비용으로 포착할 수 있음을 보여주며(점성 Burgers’: 약 100배 속도향상).
• 프레임워크는 원래 PDE를 온라인에서 감소된 공간에서 해결하지 않는 순수 데이터 기반 온라인 에뮬레이션을 가능하게 한다.