[논문 리뷰] Nonlocal Schrödinger-Kirchhoff equations with external magnetic field

Mingqi Xiang, Patrizia Pucci외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법을 이용하여 외부 자기장 잠재력을 포함하는 비국소적 분수형 슈뢰딩거-기르호프 방정식의 해가 존재하고 다수 존재함을 증명한다. 산봉우리 정리, 네하리 방법, 대칭 산봉우리 정리를 적용하여 초선형 및 하위선형 케이스에서 최소 에너지 해의 존재를 증명하고, 일반적인 비선형성 조건 하에 초선형-하위선형 케이스에서 무수히 많은 해의 존재를 입증한다.

ABSTRACT

The paper deals with existence and multiplicity of solutions of the fractional Schrödinger--Kirchhoff equation involving an external magnetic potential. As a consequence, the results can be applied to the special case \begin{equation*} (a+b[u]_{s,A}^{2θ-2})(-Δ)_A^su+V(x)u=f(x,|u|)u\,\, \quad ext{in $\mathbb{R}^N$}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $N>2s$, $a\in \mathbb{R}^+_0$, $b\in \mathbb{R}^+_0$, $θ\in[1,N/(N-2s))$, $A:\mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}^N$ is a magnetic potential, $V:\mathbb{R}^N ightarrow \mathbb{R}^+$ is an electric potential, $(-Δ)_A^s$ is the fractional magnetic operator. In the super- and sub-linear cases, the existence of least energy solutions for the above problem is obtained by the mountain pass theorem, combined with the Nehari method, and by the direct methods respectively. In the superlinear-sublinear case, the existence of infinitely many solutions is investigated by the symmetric mountain pass theorem.

연구 동기 및 목표

• 외부 자기장 잠재력을 포함하는 비국소적 분수형 슈뢰딩거-기르호프 방정식의 해의 존재성과 다수성을 조사하는 것.
• 일반적인 기르호프 함수와 비선형성 조건 하에서 분수형 자기장 설정으로 변분 방법을 확장하는 것.
• 산봉우리 정리와 네하리 방법을 이용하여 초선형 및 하위선형 케이스에서 최소 에너지 해의 존재를 확립하는 것.
• 대칭 산봉우리 정리를 활용하여 초선형-하위선형 케이스에서 무수히 많은 해의 존재를 증명하는 것.
• 자기장 분수형 스오볼레프 공간에서 관련 에너지 함수의 (PS) 조건을 검증하는 것.

제안 방법

• 자기장 잠재력 $A$를 포함하는 적분 연산자를 통한 비국소적 적분 연산자로 정의된 자기장 연산자 $(-\Delta)_A^s$를 이용하여 문제를 분수형 슈뢰딩거-기르호프 방정식으로 공식화하는 것.
• 가중치가 부여된 자기장 분수형 스오볼레프 공간 $H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$ 위에서 에너지 함수 $\mathcal{I}(u)$를 정의하며, 이는 가가르도 반정규와 잠재력 $V$를 포함한 노름을 갖는다.
• 초선형 케이스에서 최소 에너지 해의 존재를 증명하기 위해 산봉우리 정리를 적용하는 것.
• 초선형 케이스에서 기저 상태 해를 식별하기 위해 네하리 방법을 사용하는 것.
• 하위선형 케이스에서 최소 에너지 해를 확보하기 위해 변분법의 직접적 방법을 적용하는 것.
• 초선형-하위선형 케이스에서 무수히 많은 해의 존재를 증명하기 위해 대칭 산봉우리 정리를 활용하며, 기하학적 차원 이론과 컴팩트니스 추론을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 자기장이 존재하는 분수형 슈뢰딩거-기르호프 방정식이 적어도 하나의 비자명한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형성의 초선형 및 하위선형 성장 영역에서 최소 에너지 해의 존재성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 기르호프 함수 $M$과 비선형성 $f$에 어떤 조건이 성립하면 무수히 많은 해의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ4 자기장 잠재력의 존재가 관련 에너지 함수의 변분 구조와 컴팩트니스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 자기장 분수형 스오볼레프 공간에서 에너지 함수의 (PS) 조건이 성립하는가? 이는 팔라이-스말레 수열의 수렴성을 보장하는가?

주요 결과

• 산봉우리 정리와 네하리 방법을 통해 초선형 케이스에서 적어도 하나의 최소 에너지 해가 존재함을 입증하였다.
• 하위선형 케이스에서는 변분법의 직접적 방법을 통해 최소 에너지 해를 확보하였다.
• 초선형-하위선형 케이스에서는 대칭 산봉우리 정리를 통해 기하학적으로 서로 다른 무수히 많은 해가 존재함을 도출하였다.
• 에너지 함수는 $H_{A,V}^{s}(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$에서 (PS) 조건을 만족하며, 팔라이-스말레 수열의 수렴성을 보장한다.
• 결과는 $M$, $f$, $V$, $A$에 대한 일반적인 가정 하에 성립하며, $M(0) = 0$인 열화된 경우에도 적용 가능하다.
• 한계를 통과시키기 위해 브레지스-리브 보조정리와 $L^2$ 및 $L^p$ 공간에서의 노름 수렴을 활용하여 약수렴하는 수열에서의 극한을 취하는 데 의존한다.