[논문 리뷰] Nonparametric adaptive estimation of order 1 Sobol indices in stochastic models, with an application to Epidemiology

Viet Chi Tran, Gwénaëlle Castellan외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 22.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전이함수의 비모수적 적응형 추정기법을 제안하며, 스토케스틱 모델에서 첫째번째 Sobol 인덱스를 추정하기 위해 워프드 웨이브릿(warped wavelets)을 사용한다. 이는 메타모델의 필요성을 제거하며, 모델의 정규성에 따라 변하는 최적 수렴 속도를 달성한다. 표본 크기가 증가함에 따라 평균 제곱오차에서 '엘보 효과'가 관찰되며, 전염병학에서 간염 C 바이러스(Hepatitis C) 전파 모델링에 적용된다.

ABSTRACT

Global sensitivity analysis is a set of methods aiming at quantifying the contribution of an uncertain input parameter of the model (or combination of parameters) on the variability of the response. We consider here the estimation of the Sobol indices of order 1 which are commonly-used indicators based on a decomposition of the output's variance. In a deterministic framework, when the same inputs always give the same outputs, these indices are usually estimated by replicated simulations of the model. In a stochastic framework, when the response given a set of input parameters is not unique due to randomness in the model, metamodels are often used to approximate the mean and dispersion of the response by deterministic functions. We propose a new non-parametric estimator without the need of defining a metamodel to estimate the Sobol indices of order 1. The estimator is based on warped wavelets and is adaptive in the regularity of the model. The convergence of the mean square error to zero, when the number of simulations of the model tend to infinity, is computed and an elbow effect is shown, depending on the regularity of the model. Applications in Epidemiology are carried to illustrate the use of non-parametric estimators.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 모델에서 내부 랜덤성으로 인해 발생하는 출력 변동성에 기인한 첫째번째 Sobol 인덱스에 대한 비모수적, 적응형 추정기법을 개발한다.
• 스토케스틱 응답의 평균과 분산을 추정하기 위해 메타모델 의존성을 제거한다.
• 기본 조건 기대함수의 알려지지 않은 정규성에 적응하는 추정기의 수렴 속도를 확립한다.
• 사람이 주로 약물 투약을 하는 사람들(People Who Inject Drugs, PWID) 사이에서의 간염 C 바이러스 전파 모델인 SIR 모델에 적용하여, 이 방법의 효율성과 강건성을 입증한다.

제안 방법

• 첫째번째 Sobol 인덱스 계산에 핵심적인 조건 기대함수 E[Y|Xℓ]를 비모수적으로 추정하기 위해 워프드 웨이브릿 전개를 사용한다.
• 함수 hℓ(xℓ) = E[Y|Xℓ]의 알려지지 않은 매끄러움도를 적응하기 위해, 벌점 부여된 경험 위험 최소화 기반의 모델 선택 절차를 사용한다.
• 웨이브릿 계수 추정의 편향과 분산을 균형 잡기 위해 데이터 기반의 벌점 항 pen(J)을 적용한다.
• 오차를 근사 오차, 추정 오차, 모델 선택 오차로 분해하여 추정기의 평균 제곱오차 수렴 속도를 유도한다.
• 경험 웨이브릿 계수와 진짜 값 사이의 이탈을 제어하기 위해 Bernstein 유형 부등식을 사용한다.
• 추정기가 함수 hℓ의 정규성에 적응하여, 로그 인자까지 최적 수렴 속도를 달성함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 모델에서 메타모델이 필요 없이 첫째번째 Sobol 인덱스에 대한 비모수적, 적응형 추정기법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제안된 추정기의 수렴 속도가 기본 함수 hℓ(xℓ) = E[Y|Xℓ]의 정규성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 추정기는 알려지지 않은 매끄러움도에 적응하여 표본 크기 n에 대해 최적 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ4 모델 선택은 추정기 성능에 어떤 영향을 미치며, 벌점 항은 어떻게 캘리브레이션되는가?
• RQ5 계산 비용과 정확도 측면에서 기존 방법에 비해 이 방법은 스토케스틱 환경에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 정규성 조건 하에서 추정기의 평균 제곱오차는 O(log²(n)/n³/²)의 순서를 가지며, 조건 기대함수의 알려지지 않은 매끄러움도에 적응하는 수렴 속도를 달성한다.
• 수렴 속도에서 '엘보 효과'가 관찰된다: 함수 hℓ가 하올더 볼 B(α, 2, ∞)에 속할 경우 최적 수렴 속도는 n⁻⁸ᵃ⁄⁽⁴ᵃ⁺¹⁾이며, α가 증가함에 따라 n⁻¹에서 더 빠른 속도로 전이된다.
• 추정기의 성능은 모델의 정규성에 적응하여, 매끄러움도에 대한 사전 지식 없이도 최적 수렴 속도를 로그 인자까지 달성한다.
• 기존의 몬테카를로 추정기법이 n(p+1)회의 모델 시뮬레이션을 요구하는 데 비해, 이 방법은 시뮬레이션 횟수를 크게 줄였다.
• 이론적 경계는 모델 선택의 벌점 항 pen(J)이 과적합을 제어하고 일致성을 보장하는 데 충분하다는 것을 보여준다.
• 이 방법은 사람에게 약물을 투약하는 사람들(PWID) 사이에서의 간염 C 바이러스 전파 모델인 SIR 모델에 적용되어 실질적인 적용 가능성을 입증하였다.