[논문 리뷰] Norm-attaining functionals and proximinal subspaces

Martin Rmoutil|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 20.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 G. Godefroy가 제기한 문제를 해결하며, C₀에 특정한 재노름화를 가미한 경우, 노름을 도달하는 함수들의 집합이 2차원 부분공간을 포함하지 않음을 보여준다. 유한codimension 부분공간에서의 근접성과 노름을 도달하는 함수들의 세부 분석을 통해, 이 공간에서 (B) ⇒ (A)의 함의관계가 성립하지 않음을 증명하며, 모든 바나흐 공간에서 NA(X)가 2차원 부분공간을 포함하지 않는다는 존재의 반례를 제공한다.

ABSTRACT

G. Godefroy asked whether, on any Banach space, the set of norm-attaining functionals contains a 2-dimensional linear subspace. We prove that a recent construction due to C.J. Read provides an example of a space which does not have this property. This is done through a study of the relation between the following two sentences where X is a Banach space and Y is a closed subspace of finite codimension in X: (A) Y is proximinal in X. (B) The annihilator of Y consists of norm-attaining functionals. We prove that these are equivalent if X is the Read's space. Moreover, we prove that any non-reflexive Banach space X with any given closed subspace Y of finite codimension at least 2 admits an equivalent norm such that (B) is true and (A) is false.

연구 동기 및 목표

• 모든 바나흐 공간이 노름을 도달하는 함수들의 집합 내에 2차원 부분공간을 포함하는가에 대한 G. Godefroy의 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 유한codimension 부분공간의 근접성(A)과 그 연속성의 항등식(B) 사이의 동치성 조사하기.
• c₀의 재노름화를 구성하여 함의관계 (B) ⇒ (A)가 성립하지 않도록 하여, NA(X)가 2차원 부분공간을 포함하지 않을 수 있음을 보여주기 위해.
• 비반사적 바나흐 공간에서 codimension ≥2인 유한codimension 부분공간을 갖는 경우, (B) ⇒ (A)가 성립하지 않는 동치 노름이 존재함을 보여주기 위해.
• Read의 재노름화된 c₀ 공간이 R(1)임을 확립하기 위해(즉, (B) ⇒ (A)가 성립함을 보장함), 이는 NA(X)에 2차원 부분공간이 존재하지 않음을 증명하는 데 필수적이다.

제안 방법

• X/Y의 몫공간의 구조를 사용하여, (A): Y가 X에서 근접성임과 (B): Y⊥이 노름을 도달하는 함수들로 이루어져 있음을 비교 분석한다.
• 몫사상 q: X → X/Y가 단위구 BX를 BX/Y로 사상함으로써 근접성의 특성화를 활용한다.
• 노름을 도달하는 함수들의 특성화를 몫공간을 통해: y* ∈ Y⊥가 노름을 도달하면, 해당하는 ϕ ∈ (X/Y)*가 q(BX)에서 노름을 도달함을 이용한다.
• WLUR(약한 국소적으로 균일하게 둥근) 공간에 대한 충분성의 새로운 증명 기법을 Read의 재노름화된 c₀의 구조에 적응하여 적용한다.
• 특정 동치 노름을 갖는 ℓ¹에 대한 반례를 구성하고, 쌍대성과 몫공간의 논리를 통해 c₀에 적용한다.
• ℓ¹ 내의 함수들의 수열을 포함하는 극한 논증을 통해, 어떤 특정한 극한이 동시에 비영이면서 점별로 수렴하지 않을 수 있음을 보이며, 2차원 부분공간이 존재한다면 모순이 발생함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 바나흐 공간이 노름을 도달하는 함수들의 집합 내에 2차원 부분공간을 포함하는가?
• RQ2 모든 유한codimension 부분공간 Y에 대해, (A): Y의 근접성과 (B): Y⊥이 노름을 도달하는 함수들로 이루어져 있을 때, 함의관계 (B) ⇒ (A)가 성립하는가?
• RQ3 모든 비반사적 바나흐 공간은 (B) ⇒ (A)가 성립하지 않는 유한codimension 부분공간 Y를 갖는 동치 노름으로 재노름화할 수 있는가?
• RQ4 Read의 재노름화된 c₀ 공간은 R(1)인가? 즉, 이 공간에서 모든 유한codimension 부분공간에 대해 (B) ⇒ (A)가 성립하는가?
• RQ5 어떤 바나흐 공간의 노름을 도달하는 함수들의 집합이 2차원 부분공간을 포함하지 않도록 만들 수 있는가?

주요 결과

• Read의 c₀ 재노름화에 대해 NA(c₀, |||·|||)는 2차원 부분공간을 포함하지 않으며, 이는 Godefroy 문제에 대한 부정적 해답을 제공한다.
• 공간 (c₀, |||·|||)는 R(1)이다. 즉, 모든 유한codimension 부분공간에 대해 (B) ⇒ (A)가 성립하며, 이는 주요 결과에 필수적이다.
• 모든 비반사적 바나흐 공간 X와 codimension ≥2인 닫힌 부분공간 Y에 대해, Y가 비록 Y⊥이 노름을 도달하는 함수들로 이루어져 있더라도 Y가 근접성이 아님을 보장하는 동치 노름이 존재한다.
• 이는 비반사적 바나흐 공간가 R(1) 성질을 잃을 수 있음을 의미하며, 즉 (B) ⇒ (A)가 항상 성립하지는 않는다.
• 증명은 ℓ¹ 내의 함수들의 수열을 포함하는 구성과, 몫공간에서의 점별 수렴과 노름 수렴의 모순 기반 논증을 사용한다.
• 저자들은 새로운 ℓ¹ 노름에서, 몰입사상 q에 의한 단위구의 상이 특정 볼록집합 A와 일치하도록 만들 수 있음을 보여주며, 이는 연속성의 항등식의 노름 도달 행동을 제어하는 데 사용된다.