[논문 리뷰] Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II

Dylan Airey, Bill Mance외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유리수 곱셈과 덧셈이 캔터 급수 전개에서 $Q$-정규성을 어떻게 유지하는지 조사한다. 계산 가능한 기본 수열 $Q$와 실수 $x$가 존재하여, $x$는 $Q$-정규이지만 $Q$-분포 정규가 아니며, 이 성질이 모든 유리수 선형변환 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 하에서도 유지됨을 증명한다. 이러한 수의 집합은 풀 하우스도르프 차원을 가지며, $Q$와 $x$는 모두 명시적으로 계산 가능하다.

ABSTRACT

We investigate how non-zero rational multiplication and rational addition affect normality with respect to $Q$-Cantor series expansions. In particular, we show that there exists a $Q$ such that the set of real numbers which are $Q$-normal but not $Q$-distribution normal, and which still have this property when multiplied and added by rational numbers has full Hausdorff dimension. Moreover, we give such a number that is explicit in the sense that it is computable.

연구 동기 및 목표

• 유리수 선형변환 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 하에서 $Q$-정규성과 $Q$-분포 정규성의 불변성을 조사하기.
• 모든 유리수 $\tau_{r,s}$ 하에서 불변인, $Q$-정규이지만 $Q$-분포 정규가 아닌 수의 집합이 존재하는지 확인하기.
• 풀 하우스도르프 차원을 가지는 이러한 집합을 구성하여, 그 크기와 구조적 강건성을 보여주기.
• $Q$와 $x$가 계산 가능하도록 보장하여, 명시적이고 알고리즘적으로 정의 가능한 예를 제공하기.
• 기본 $b$-정규성 외의 캔터 급수 전개에서 유리수 덧셈과 곱셈이 정규성에 미치는 영향을 탐구하기.

제안 방법

• 기본 수열 $Q = (q_n)$을 $i^{\lfloor \log i \rfloor}$와 계승 기반의 숫자 집합에서 유도된 계산 가능한 수열 $n_i$, $l_i$, $L_i$를 사용하여 구성하기.
• 숫자 $E_n$이 $i!$ 모듈로 정수의 계산 가능한 부분집합 $\mathcal{L}_i$ 에서 선택된 실수 $\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$ 정의하기.
• 수열 $Q$의 구조를 이용해, 유리수 덧셈 $s$와 곱셈 $r$이 유한한 수의 자릿수만 영향을 주어 정규성 성질을 유지하도록 하기.
• 자릿수 빈도에 대한 조합적 추정과 $o(1)$-점근 분석을 적용하여, 비정규 문자열의 수가 무시할 만큼 적다는 것을 보이기.
• $Q$-정규 문자열의 수가 점근적으로 $\frac{n_i \ell_i}{i^k}(1 + o(1))$임을 증명하여, $\tau_{r,s}$ 하에서의 $Q$-정규성을 확보하기.
• 모든 수열 $Q$와 자릿수 $E_n$을 계산하는 튜링 기계를 구성하여, $Q$와 실수 $\eta$의 계산 가능성 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유리수 선형변환 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 하에서 불변인, $Q$-정규이지만 $Q$-분포 정규가 아닌 수의 집합이 존재하는가?
• RQ2 이러한 집합이 풀 하우스도르프 차원을 가지며, 프랙탈적 의미에서 크다는 것을 의미하는가?
• RQ3 기본 수열 $Q$와 불변 집합에 속하는 실수 $x$가 명시적으로 구성되고 계산 가능하다고 증명할 수 있는가?
• RQ4 분모가 어떤 $q_n$ 나누지 못하는 유리수 덧셈 $s$가 $Q$-정규성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이 결과는 캔터 급수 전개에서 순서 $k$의 정규성 또는 기타 일반화된 정규성 개념으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유리수 변환 $\tau_{r,s}(x) = rx + s$ 하에서 불변인, $Q$-정규이지만 $Q$-분포 정규가 아닌 수의 집합이 존재한다.
• 이 $Q$에 대해 이러한 수의 집합은 풀 하우스도르프 차원을 가지며, 프랙탈적 및 측도론적 의미에서 크다는 것을 나타낸다.
• 기본 수열 $Q$는 계산 가능하다. 이는 $n$번째 기수 $q_n$을 계산하는 튜링 기계를 구성함으로써 증명된다.
• 자릿수 $E_n = i!$ 를 갖는 실수 $\eta = \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n}{q_1 \cdots q_n}$ 는 계산 가능하며, 불변 집합에 속한다.
• 구성 과정을 통해 유리수 덧셈 $s$와 곱셈 $r$이 유한한 수의 자릿수만 영향을 주어, $Q$-정규성과 비-$Q$-분포 정규성을 유지함을 보장한다.
• $(\epsilon_i, k)$-정규성에 실패하는 문자열의 수는 $n_i i^{n_i} e^{-n_i^{1/5}}$ 이하로 유한하며, 총 문자열 수에 비해 무시할 만큼 작다.