[논문 리뷰] Normalized solutions with positive energies for a coercive problem and application to the cubic-quintic nonlinear Schr\"{o}dinger equation

Louis Jeanjean, S.C.-Y. Lu|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 34인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 질량-초과비례 조건 하에서 임의의 차원 N ≥ 1 에서 강제성 있는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 클래스에 대해, 양의 에너지를 가진 정규화된 해의 존재성을 확립한다. L2-구면 위에서 국소 최소화자와 마운틴 패ass 임계점을 구성함으로써, 전역 최소 에너지가 달성되지 않더라도 비록 전역 최소 에너지가 달성되지 않더라도, 임계 질량 m* > 0 의 왼쪽 근처에서 양의 에너지 해가 존재함을 증명한다. 결과는 R3 에서의 입방-오차 비선형성 NLS에 적용되어, 행동 기저 상태가 국소 최소화자이거나 안장형 해일 수 있음을 드러내며, 궤도 안정성 및 불안정성에 대한 함의를 가진다.

ABSTRACT

In any dimension $N \geq 1$, for given mass $m > 0$ and when the $C^1$ energy functional \begin{equation*} I(u) := \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^N} | abla u|^2 dx - \int_{\mathbb{R}^N} F(u) dx \end{equation*} is coercive on the mass constraint \begin{equation*} S_m := \left\{ u \in H^1(\mathbb{R}^N) ~|~ \|u\|^2_{L^2(\mathbb{R}^N)} = m ight\}, \end{equation*} we are interested in searching for constrained critical points at positive energy levels. Under general conditions on $F \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ and for suitable ranges of the mass, we manage to construct such critical points which appear as a local minimizer or correspond to a mountain pass or a symmetric mountain pass level. In particular, our results shed some light on the cubic-quintic nonlinear Schr\"{o}dinger equation in $\mathbb{R}^3$.

연구 동기 및 목표

• L2-제약 비선형 슈뢰딩거 방정식의 에너지 함수의 양의 에너지 수준에서 제약 임계점을 식별하고 구성하는 것.
• 대부분의 이전 연구가 음의 에너지 기저 상태에 집중하는 질량-초과비례 영역에서, 양의 에너지 해에 대한 체계적인 연구 부족을 해결하는 것.
• 특히 전역 최소화자 이외의 행동 기저 상태의 존재성과 안정성에 대해, R3 에서의 입방-오차 비선형 슈뢰딩거 방정식의 변분적 구조를 명확히 하는 것.
• 전역 최소 에너지가 달성되지 않더라도, 양의 에너지 해가 국소 최소화자 또는 마운틴 패스 수준에서 나타날 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 비선형성 F 가 영점 근처에서의 행동에 기반하여, L2-구면 위에서 잠재적 양의 에너지 수준을 식별하기 위해 정밀한 기하학적 추정(보조정리 2.2 iii)을 도입한다.
• H1-반노름이 임계값 ρ(m*) > 0 초과인 부분집합 Sρm 에서의 국소 최소 에너지 Em 을 정의함으로써, 강제성과 컴팩턴스를 보장한다.
• 제약 다양체 Sm 에서 국소 최소화와 마운틴 패스 이론을 적용하여, 양의 에너지 수준에서의 임계점을 찾는 변분 방법을 적용한다.
• 비선형성이 일반화된 아마르세티-라비노비츠 조건 (f5) 를 만족할 경우, 마운틴 패스 정리와 대칭 마운틴 패스 정리를 사용하여 해를 구성한다.
• 집중-콤팩턴스 추론과 강한 수렴성(이동에 대해)을 갖는 최소화 수열을 이용하여, 국소 최소 에너지 설정에서 최소화자의 존재를 증명한다.
• 결과를 R3 에서의 입방-오차 비선형성 f(u) = |u|2u - |u|4u 에 적용하여, 주파수 ω 를 라그랑주 승수와 연결하고 행동 함수를 통한 안정성 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 에너지 최소값이 달성되지 않는 질량-초과비례 영역에서, L2-제약 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 양의 에너지를 가진 정규화된 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이 설정에서 양의 에너지 해의 배경이 되는 변분적 구조(예: 국소 최소화자, 마운틴 패스)는 무엇인가?
• RQ3 비선형성 F(u) 가 영점 근처에서의 성질이 양의 에너지 해의 존재성과 성격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 R3 에서의 입방-오차 NLS 에서 행동 기저 상태가 국소 최소화자이거나 안장형 해일 수 있으며, 그 안정성 특성은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 m ∈(m**, m*] 에 대해, 국소 최소 에너지 Em > 0 은 RN 상에서 일정한 부호를 가지는 해 v ∈Sm 에 의해 달성되며, v 는 양의 에너지와 양의 라그랑주 승수를 가진다.
• 강한 수렴성 수열과 표준 안정성 추론을 통해, m ∈(m**, m*] 에서 국소 최소화자 v 는 궤도 안정성을 가진다.
• m > m* 인 경우, 두 개의 서로 다른 주파수 ω1, ω2 ∈(0, 3/16) 가 존재하여, 관련된 행동 기저 상태 vm 과 wm 이 I(vm) = Em > 0 과 I(wm) > 0 을 만족하며, wm 은 마운틴 패스 수준에 해당한다.
• 행동 기저 상태 vm = Uω1 는 I|Sm 의 국소 최소화자이지만 전역 최소화자가 아니며, 이는 기저 상태가 반드시 전역 최소화자가 아니라는 것을 보여준다.
• 행동 기저 상태 wm = Uω2 는 H1r(R3) 의 반지름 부분공간에서 마운틴 패스 수준에 해당함을 확인하여, 안장형 행동을 확인한다.
• 결과는 [16, 정리 1.6(i)] 의 역을 부정하며, P(u) = 0 인 해가 전역 최소화자를 보장하지는 않으며, m** > 0 이 양의 에너지 국소 최소화자의 존재에 대해 날카로운 임계값임을 보여준다.