[논문 리뷰] Normalizer circuits and a Gottesman-Knill theorem for infinite-dimensional systems

Juan Bermejo-Vega, Cedric Yen-Yu Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 72인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 양자 시스템으로 Gottesman-Knill 정리를 확장하기 위해, $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 형태의 군 위에서 정규화 회로를 도입함으로써 연속적이고 이산적인 변수를 통합한다. 이러한 회로는 정규형을 기반으로 한 일반화된 안정자 형식과 군의 자기동형사상 및 이차 함수의 정규형을 활용하여, 안정자 군이 비가산적이거나 비콤팩트일 경우에도 효율적으로 고전적으로 시뮬레이션 가능하다.

ABSTRACT

$ extit{Normalizer circuits}$ [1,2] are generalized Clifford circuits that act on arbitrary finite-dimensional systems $\mathcal{H}_{d_1}\otimes ... \otimes \mathcal{H}_{d_n}$ with a standard basis labeled by the elements of a finite Abelian group $G=\mathbb{Z}_{d_1} imes... imes \mathbb{Z}_{d_n}$. Normalizer gates implement operations associated with the group $G$ and can be of three types: quantum Fourier transforms, group automorphism gates and quadratic phase gates. In this work, we extend the normalizer formalism [1,2] to infinite dimensions, by allowing normalizer gates to act on systems of the form $\mathcal{H}_\mathbb{Z}^{\otimes a}$: each factor $\mathcal{H}_\mathbb{Z}$ has a standard basis labeled by $ extit{integers}$ $\mathbb{Z}$, and a Fourier basis labeled by $ extit{angles}$, elements of the circle group $\mathbb{T}$. Normalizer circuits become hybrid quantum circuits acting both on continuous- and discrete-variable systems. We show that infinite-dimensional normalizer circuits can be efficiently simulated classically with a generalized $ extit{stabilizer formalism}$ for Hilbert spaces associated with groups of the form $\mathbb{Z}^a imes \mathbb{T}^b imes \mathbb{Z}_{d_1} imes... imes \mathbb{Z}_{d_n}$. We develop new techniques to track stabilizer-groups based on normal forms for group automorphisms and quadratic functions. We use our normal forms to reduce the problem of simulating normalizer circuits to that of finding general solutions of systems of mixed real-integer linear equations [3] and exploit this fact to devise a robust simulation algorithm: the latter remains efficient even in pathological cases where stabilizer groups become infinite, uncountable and non-compact. The techniques developed in this paper might find applications in the study of fault-tolerant quantum computation with superconducting qubits [4,5].

연구 동기 및 목표

• 유한 아벨 군을 초월하여 정규화 회로를 확장함으로써 Gottesman-Knill 정리를 무한차원 양자 시스템으로 일반화하는 것.
• 하이브리드 연속-이산 변수 시스템에 작용하는 정규화 회로를 위한 고전적 시뮬레이션 프레임워크를 개발하는 것.
• 무한차원 정규화 회로에서 발생하는 무한, 비가산, 비콤팩트 안정자 군을 시뮬레이션하는 데 도전하는 문제를 다루는 것.
• 특이한 경우에도 안정자 군의 지지집합을 계산하고 그로부터 표본을 추출하는 데 효율적인 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 정의된 군 $G = \mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 위에서 정규화 회로를 공식화하며, 양자 푸리에 변환, 군 자기동형사상 게이트, 이차 위상 게이트를 포함한다.
• 군의 구조 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 를 기반으로 한 일반화된 안정자 형식을 도입하여 양자 상태의 진화를 추적한다.
• 이러한 군에서의 군 자기동형사상과 이차 함수에 대한 정규형을 개발하여 안정자 군의 효율적 표현과 조작을 가능하게 한다.
• 시뮬레이션 문제를 실수-정수 혼합 선형 방정식계의 해법으로 환원하며, 행렬 표현에 대해 스티브 정규형을 활용한다.
• 콤팩트 부분군과 자유 부분군의 생성자를 사용하여 안정자 군에 대한 $(\Delta, \varepsilon)$-넷을 효율적으로 구성함으로써 균일하고 충돌 없는 표본 추출을 가능하게 한다.
• 군의 동형사상의 행렬 표현과 몫군의 구조를 이용하여 안정자 상태의 지지집합과 관련 분포를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의된 군 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 와 관련된 무한차원 힐베르트 공간에서 작용하는 정규화 회로는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 무한차원 설정에서 안정자 군이 비가산적이거나 비콤팩트가 되었을 경우, 이를 어떻게 표현하고 추적할 수 있는가?
• RQ3 하이브리드 연속 및 이산 변수 시스템에서 안정자 상태의 지지집합을 계산하기 위해 필요한 기법은 무엇인가?
• RQ4 안정자 군이 무한하거나 비콤팩트할 경우, 안정자 상태로부터 효율적인 표본 추출을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ5 자기동형사상과 이차 함수의 정규형이 이러한 회로의 고전적 시뮬레이션을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정의된 군 $\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_n}$ 에서의 정규화 회로는 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션 가능하다.
• 정규형과 혼합 선형 방정식 해법을 활용함으로써, 안정자 군이 비가산적이거나 비콤팩트일 경우에도 시뮬레이션 알고리즘이 효율성을 유지한다.
• 안정자 상태의 지지집합은 군 $G$ 의 부분군 $\mathbb{H}$ 와의 합 $x_0 + \mathbb{H}$ 로 표현되며, 이는 알고리즘을 통해 효율적으로 계산 가능하다.
• 안정자 상태의 지지집합에서의 효율적 표본 추출은 안정자 군의 콤팩트 및 자유 부분군의 생성자에 대한 임의의 조합을 생성함으로써 달성된다.
• 안정자 군에 대한 $(\Delta, \varepsilon)$-넷의 구성은 효율적이며, $O(\textnormal{poly}(m,\alpha,\beta,\log N_i,\log\|\mathcal{E}\|_{\mathbf{b}},\log\tfrac{1}{\varepsilon},\log\Delta_i))$ 비트의 메모리만을 사용한다.
• 문제를 혼합 실수-정수 선형 방정식계의 해법으로 환원함으로써 강력한 시뮬레이션을 가능하게 하며, 해는 스티브 정규형 분해를 통해 도출된다.