[논문 리뷰] Note on multiple q-zeta functions

T. Kim|ArXiv.org|2009. 12. 30.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 s-평면에서 다중 q-Euler zeta 함수의 해석적 계속성을 가지는 다중 q-zeta 함수 ζ_r,q^E(s,x)를 도입한다. 멀린 변환, 로랑 급수, 코시 잔여정리 등을 사용하여 함수 방정식을 수립하고, ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x)임을 증명함으로써 이 함수가 다중 q-Euler 다항식과 연결되며, q-해석에서 Dirichlet 유형 L-함수를 일반화함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we construct the alternating multiple q-zeta function(= Multiple Euler q-zeta function) and investigate their properties. Finally, we give some interesting functional eauations related to q-Euler polynomials.

연구 동기 및 목표

• 다중 q-Euler zeta 함수 ζ_r,q^E(s,x)의 복소 s-평면에서의 해석적 계속성을 정의하고 연구하기.
• 로랑 급수와 코시 잔여정리를 사용하여 임의의 극 근처의 행동과 함수 방정식을 수립하기.
• 다중 순서 r에 대한 Dirichlet 유형 q-Euler L-함수를 일반화하고 다중 q-Euler 다항식과 연관시키기.
• 특성 합과 q-정수 항등식을 통한 다중 q-Euler 다항식의 분포 관계 유도하기.
• q-해석 기법을 사용하여 기존의 q-zeta 및 q-Euler 함수 결과를 다중 및 일반화된 설정으로 확장하기.

제안 방법

• 다중 q-zeta 함수를 ζ_r,q^E(s,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} / [x + m₁ + ⋯ + mᵣ]_q^s로 정의하며, |q| < 1 이고 Re(x) > 0 이다.
• 생성 함수 F_q^(r)(t,x) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^{m₁+⋯+mᵣ} e^{[m₁+⋯+mᵣ+x]_qt} 에 멀린 변환을 적용하여, ∫₀^∞ t^s−1 F_q^(r)(−t,x) dt / Γ(s) 를 통해 ζ_r,q^E(s,x)를 도출한다.
• 로랑 급수 전개와 코시 잔여정리를 사용하여 음의 정수에서의 특수값을 평가한다: ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x).
• 치환 m_j = f n_j + a_j 를 통해 다중 q-Euler 다항식의 분포 관계를 도출하며, E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f) 를 얻는다.
• 홀수 도수 f를 가진 딜라이크 특성 χ로 일반화하기 위해 l_q^(r)(s,x|χ) = [2]_q^r ∑_{m₁,…,mᵣ=0} (−1)^∑mᵢ χ(m₁)⋯χ(mᵣ) / [m₁+⋯+mᵣ+x]_q^s 를 정의한다.
• 함수 방정식 l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f) 를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 q-Euler zeta 함수 ζ_r,q^E(s,x)는 복소 s-평면에서 어떻게 해석적 계속성을 가지는가?
• RQ2 홀수 도수 f를 가진 딜라이크 특성 χ에 대해 l_q^(r)(s,x|χ)와 ζ_r,q^f^E(s,x) 사이의 함수 방정식은 무엇인가?
• RQ3 다중 q-Euler 다항식 E_n,q^(r)(x)에 대해 성립하는 분포 관계는 무엇인가?
• RQ4 음의 정수에서의 특수값 ζ_r,q^E(−n,x)는 다중 q-Euler 다항식 E_n,q^(r)(x)와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 멀린 변환과 잔여 계산을 통해 다중 q-zeta 함수와 일반화된 q-Euler 수 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 다중 q-zeta 함수 ζ_r,q^E(s,x)는 전체 복소 s-평면에서 머피로프릭이며, 비정상 정수에 극을 가질 수 있다.
• 음의 정수에서의 특수값은 ζ_r,q^E(−n,x) = E_n,q^(r)(x) 를 만족하며, zeta 함수와 다중 q-Euler 다항식 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 다음과 같은 다중 q-Euler 다항식의 분포 관계가 도출된다: E_n,q^(r)(x) = ([2]_q/[2]_q^f)^r [f]_qⁿ ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (−1)^∑aᵢ E_n,q^f^(r)((x + ∑aᵢ)/f).
• 일반화된 Dirichlet 유형 다중 q-Euler L-함수 l_q^(r)(s,x|χ)는 l_q^(r)(s,x|χ) = [f]_q^−s ([2]_q/[2]_q^f)^r ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 χ(a₁)⋯χ(aᵣ) (−1)^∑aᵢ ζ_r,q^f^E(s, (x + ∑aᵢ)/f) 를 만족한다.
• 특수값 l_q^(r)(−n,x|χ) = E_n,χ,q^(r)(x) 가 성립하며, 이는 고전적인 L-함수와 일반화된 베르누이 수 사이의 관계를 q-해석 설정으로 확장한다.
• E_n,χ,q^(r)(x) 의 닫힌 표현식은 E_n,χ,q^(r)(x) = [2]_q^r / (1−q)ⁿ × ∑_l=0ⁿ (n 선택 l) (−q^x)^l ∑_{a₁,…,aᵣ=0}^f−1 (χ(a₁)⋯χ(aᵣ)) (−q^l)^∑aᵢ / (1 + q^lf)^r 로 주어진다.