[논문 리뷰] Note on (weak) Gorenstein global dimensions

Najib Mahdou, Mohammed Tamekkante|ArXiv.org|2009. 10. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 링에 대한 약한 고렌스타인 전반적 차원을 특성화하고, 힐베르트의 시지의 정리를 이 맥락으로 확장하며, 유한한 고렌스타인 약한 전반적 차원을 가지지만 무한한 고전적 약한 차원을 가진 비준칙 링을 구성함으로써, 0보다 큰 유한한 고렌스타인 차원을 가진 비준칙 링의 존재를 보여준다.

ABSTRACT

In this note we characterize the (resp., weak) Gorenstein global dimension for an arbitrary ring. Also, we extend the well-known Hilbert's syzygy Theorem to the weak Gorenstein global dimension and we study the weak Gorenstein homological dimensions of direct product of rings, which gives examples of non-coherent rings of finite Gorenstein dimensions $>0$ and infinite classical weak dimension.

연구 동기 및 목표

• 임의의 링에 대한 약한 고렌스타인 전반적 차원을 특성화하여 고전적 호모로지 차원을 일반화한다.
• 힐베르트의 시지의 정리를 약한 고렌스타인 전반적 차원의 맥락으로 확장한다.
• 직접곱 링에 대한 약한 고렌스타인 호모로지 차원의 행동을 연구한다.
• 유한한 고렌스타인 약한 전반적 차원을 가지지만 고전적 약한 차원이 무한한 비준칙 링의 예를 구성한다.
• 비노에테르이자 비준칙 링 환경에서 고렌스타인 차원과 고전적 호모로지 차원 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 이행성 모듈러의 토르 함자와 임베딩 모듈러에서의 영성에 의한 고렌스타인 평탄 모듈러의 특성화를 사용한다.
• 문자 모듈러 구성 $M^+ = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 를 통한 평탄 차원과 임베딩 차원 사이의 대칭을 적용한다.
• 레미마 2.15를 사용하여 다항식 확장에서 중심의 영이 아닌 약수를 통한 임베딩 차원의 전이를 활용한다.
• 정리 2.10을 적용하여 약한 고렌스타인 전반적 차원을 모든 임베딩 $R$-모듈러의 평탄 차원의 상한과 연결한다.
• 직접곱 $T_n \times S$ 를 통해 예를 구성하며, 여기서 $T_n = R[X_1, \dots, X_n]$ 이고 $R = K[X]/(X^2)$ 이며 $S$ 는 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ 인 비준칙 링이다.
• 다항식 링과 직접곱에 대한 알려진 고렌스타인 차원 결과를 사용하여 $\operatorname{wGgldim}(T_n \times S)$ 를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 링에 대해 약한 고렌스타인 전반적 차원의 특성화는 무엇인가?
• RQ2 다항식 확장에서 약한 고렌스타인 전반적 차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 비준칙 링이 유한한 고렌스타인 약한 전반적 차원을 가지면서도 고전적 약한 차원이 무한한가?
• RQ4 비준칙 링에서 약한 고렌스타인 전반적 차원과 고전적 약한 전반적 차원 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 힐베르트의 시지의 정리는 고렌스타인 약한 전반적 차원 맥락으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 링 $R$ 의 약한 고렌스타인 전반적 차원은 모든 임베딩 $R$-모듈러의 평탄 차원의 상한으로 특성화된다.
• 다항식 링 $R[x]$ 의 약한 고렌스타인 전반적 차원은 정확히 $\operatorname{wGgldim}(R) + 1$ 이며, 이는 힐베르트의 시지의 정리를 고렌스타인 맥락으로 확장한다.
• 직접곱 $T_n \times S$ 에 대해, 여기서 $T_n = R[X_1, \dots, X_n]$ 이고 $R = K[X]/(X^2)$ 이며 $S$ 는 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ 인 비준칙 링이라면, $\operatorname{wGgldim}(T_n \times S) = n$ 이다.
• 링 $T_n \times S$ 는 비준칙이다. 왜냐하면 $S$ 가 비준칙이기 때문이다. 이는 비준칙성으로 인해 유한한 고렌스타인 약한 전반적 차원이 불가능하지 않음을 보여준다.
• 직접곱 $T_n \times S$ 의 고전적 약한 차원은 무한하다. 왜냐하면 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ 이기 때문이다. 이는 고전적 차원과 고렌스타인 차원 사이의 엄격한 분리가 있음을 보여준다.
• 이 구성은 유한한 고렌스타인 약한 전반적 차원을 가지며 0보다 크고 고전적 약한 차원이 무한한 비준칙 링의 명시적 예를 제공한다.