[논문 리뷰] Notes on string topology

Ralph L. Cohen, Alexander A. Voronov|ArXiv.org|2005. 03. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 55인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 다양체의 루프 공간의 호몰로지와 BV 대수나 게르스텐하버 대수와 같은 대수적 구조 사이의 깊은 연결고리를 확립하며 스트링 토폴로지에 대한 종합적인 소개를 제공한다. 논문은 챈-빌코프 스푸링 곱을 통해 자유 루프 공간 $LM$의 호몰로지가 바탈린-빌코비츠(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수적 구조를 지닌다는 것을 보이며, 또한 구의 공간 $X^{S^n}$의 호몰로지가 $n$중 루프 공간의 호흐실트 호몰로지와 동형임을 보여, 양자장 이론, 오페라드(특히 캉티스 오페라드) 및 대수적 토폴로지가 통합된 프레임워크 안에서 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

This paper is an exposition of the new subject of String Topology. We present an introduction to this exciting new area, as well as a survey of some of the latest developments, and our views about future directions of research. We begin with reviewing the seminal paper of Chas and Sullivan, which started String Topology by introducing a BV-algebra structure on the homology of a loop space of a manifold, then discuss the homotopy theoretic approach to String Topology, using the Thom-Pontrjagin construction, the cacti operad, and fat graphs. We review quantum field theories and indicate how string topology fits into the general picture. Other topics include an open-closed version of string topology, a Morse theoretic interpretation, relation to Gromov-Witten invariants, and "brane'' topology, which deals with sphere spaces. The paper is a joint account of the lecture series given by each of us at the 2003 Summer School on String Topology and Hochschild Homology in Almeria, Spain.

연구 동기 및 목표

• 스트링 토폴로지가 대수적 토폴로지, 미분 토폴로지 및 수학적 물리학을 연결하는 새로운 분야임을 소개하기 위해.
• 챈-빌코프 루프 곱을 이용해 자유 루프 공간 $LM$의 호몰로지에 BV 대수적 구조를 수립하기 위해.
• 스트링 토폴로지 연산이 캉티스 오페라드와 통한 리만 표면의 모듈리 공간의 작용을 통해 위상적 공명장 이론과 연결됨을 밝히기 위해.
• 이를 고차원의 구로 일반화하고, $X^{S^n}$의 호몰로지가 $C_*ig(igwedge^n Xig)$의 $n$중 루프 공간의 호흐실트 호몰로지와 관련됨을 밝히기 위해.
• 코 tangent bundle 위에서의 모어스 이론적 시각을 통해 스트링 토폴로지와 그로모프-윈터 이론의 관계를 탐구하기 위해.

제안 방법

• 루프 공간 내의 교차 이론에서 유도되는 챈-빌코프 루프 곱을 사용하여 $H_*(LM)$에 BV 대수적 구조를 정의함.
• 모듈리 공간의 작용을 기하학적으로 실현하기 위해 캉티스 오페라드를 적용하여 루프 공간 위에서의 스트링 토폴로지 연산을 모델링함.
• 에너지 함수에 대한 모어스 이론적 시각을 도입하여 급강하 경로가 스트링 토폴로지 연산과 어떻게 관련되는지 분석함.
• 반자유 구 공간 $X^{S^n}_0$과 전체 구 공간 $X^{S^n}$ 사이의 호모토피 동치를 구축하여 표준적인 호모토피 이론 도구의 사용을 가능하게 함.
• 특수 코호몰로지와 호흐실트 호몰로지를 사용하여 $X^{S^n}$의 호몰로지를 $C_*far{rak{D}}^n$-대수 $C_*ig(igwedge^n Xig)$의 호흐실트 호몰로지와 연결함.
• 오페라드와 프롭( PROPs)을 활용하여 스트링 토폴로지의 근본이 되는 대수적 구조, 특히 $n$-대수와 그 코homological 성질을 형식화함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 챈-빌코프 루프 곱은 자유 루프 공간의 호몰로지에 대해 어떻게 바탈린-빌코비츠(BV) 대수적 구조로 해석될 수 있는가?
• RQ2 캉티스 오페라드는 루프 공간 위에서 스트링 토폴로지 연산을 어떻게 실현하는가?
• RQ3 LM 위의 에너지 함수에 대한 모어스 이론적 접근은 $T^*M$의 그로모프-윈터 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 구의 공간 $X^{S^n}$의 호몰로지와 $n$중 루프 공간의 호흐실트 호몰로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 콘체비치의 호흐실트 코호몰로지 추측은 스트링 토폴로지 구조를 통해 위상적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 닫힘되고 올바르게 정렬된 다양체의 자유 루프 공간 $LM$의 호몰로지는 챈-빌코프 루프 곱을 통해 자연스럽게 바탈린-빌코비츠(BV) 대수적 구조를 지닌다.
• 캉티스 오페라드는 루프 공간 $LM$에 작용하며, 스트링 토폴로지의 대수적 연산을 기하학적으로 모델링하고, 리만 표면의 모듈리 공간을 통해 BV 구조를 실현한다.
• 경로로 연결된 CW 복합체에 대해 포함사상 $X^{S^n}_0 o X^{S^n}$는 호모토피 동치이다. 이는 호모토피 계산에서 반자유 구 공간을 전체 구 공간으로 대체할 수 있음을 허용한다.
• 호흐실트 체인 복합체 $C_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$는 특수 코호몰로지 복합체 $C_*ig(X^{S^n}_0ig)$와 호모토피 동치이다.
• 호흐실트 호몰로지 $H_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$는 호몰로지 $H_*(X^{S^n}_0; bZ)$와 동형이며, 이러한 공간들에 대해서는 $H_*(X^{S^n}; bZ)$와도 동형이다.
• 논문은 콘체비치의 호흐실트 코호몰로지 추측을 위상적으로 실현하며, $n$-대수의 호흐실트 $n$-호몰로지가 자연스럽게 $(n+1)$-대수임을 시사한다. 이는 $H_*(X^{S^n})$와 $igwedge^n X$의 호흐실트 호몰로지 사이의 동형에 의해 반영된다.