[논문 리뷰] Novel Approach Towards Global Optimality of Optimal Power Flow Using Quadratic Convex Optimization

Hadrien Godard, Sourour Elloumi외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 13.

Optimal Power Flow Distribution참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이차凸 최적화 기법을 사용하여 최적 전력 흐름(OPF) 문제를 전역 최적화로 해결하기 위한 전문화된 혼합정수이차凸재구성(MIQCR) 접근법을 제안한다. 랭크 재구성에서 유도된 더 작은 정수형프로그래밍(SDP) 재구성에 기반하여, 분기결합수기 트리의 루트 노드에서 날카운 락을 확보함으로써, 2에서 1354 버스까지의 테스트 케이스에서 근사 최적 성능로 효율적인 갭 닫힘을 달성한다.

ABSTRACT

Optimal Power Flow (OPF) can be modeled as a non-convex Quadratically Constrained Quadratic Program (QCQP). Our purpose is to solve OPF to global optimality. To this end, we specialize the Mixed-Integer Quadratic Convex Reformulation method (MIQCR) to (OPF). This is a method in two steps. First, a Semi-Definite Programming (SDP) relaxation of (OPF) is solved. Then the optimal dual variables of this relaxation are used to reformulate OPF into an equivalent new quadratic program, where all the non-convexity is moved to one additional constraint. In the second step, this reformulation is solved within a branch-and-bound algorithm, where at each node a quadratic and convex relaxation of the reformulated problem, obtained by relaxing the non-convex added constraint, is solved. The key point of our approach is that the lower bound at the root node of the branch-and-bound tree is equal to the SDP relaxation value. We test this method on several OPF cases, from two-bus networks to more-than-a-thousand-buses networks from the MAT-POWER repository. Our first results are very encouraging.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 최적 전력 흐름(OPF) 문제를 볼록 최적화 기법을 사용하여 전역 최적화로 해결하기 위해.
• 정수형프로그래밍 재구성 기반으로 분기결합수기 방법의 하한 품질을 향상시키기 위해.
• 표준 MIQCR보다 더 작은 SDP 재구성 사용으로 계산 오버헤드를 줄이면서도 최적성 보장을 유지하기 위해.
• 맞춤형 분기결합수기 프레임워크를 통해 최선의 타당해와 하한 사이의 이중성 갭을 효율적으로 닫기 위해.
• MATPOWER 레포지토리의 대규모 OPF 인스턴스에서 제안된 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 방법은 먼저 정수형프로그래밍(SDP)을 통해 랭크(샤르) 재구성을 풀어 강력한 하한을 확보함으로써 OPF에 MIQCR를 적용한다.
• 원래 OPF 문제를 비볼록성이 한 개의 제약조건에 집중된 등가 이차계획문제로 재구성한다.
• 재구성된 문제를 분기결합수기 알고리즘으로 풀며, 각 노드는 비볼록 제약조건을 완화함으로써 볼록 이차재구성 문제를 풀게 된다.
• 핵심 혁신은 전체 MIQCR 접근법과 동일한 하한을 확보하기 위해 더 작은 SDP 재구성을, 구체적으로 랭크 재구성의 이중성으로 구성된 것만으로도 충분하다는 것을 증명하는 것이다.
• SDP 해법에서 문제의 희박성(sparsity)을 활용하기 위해 코르달 분해를 적용하고, 볼록 부분문제에는 Xpress를, 휴리스틱 해법에는 Knitro를 사용한다.
• 분기 전략은 δ 파라미터를 0.5로 설정하고, 시간 제한은 300초, 최종 최적성 갭 허용 오차는 $10^{-5}$로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 MIQCR보다 더 작은 정수형프로그래밍 재구성을 사용하여 OPF의 동일한 전역 최적화 하한을 확보할 수 있는가?
• RQ2 MIQCR를 통한 재구성된 OPF 문제는 분기결합수기 트리의 루트 노드에서 더 날카운 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ3 대규모 OPF 인스턴스에서 분기결합수기 프레임워크는 이중성 갭을 효율적으로 닫을 수 있는가?
• RQ4 제안된 MIQCR 기반 OPF 솔버의 성능은 Baron과 같은 일반 목적 솔버보다 어떻게 비교되는가?
• RQ5 경계 강화 및 휴리스틱 전략은 대규모 OPF 문제에서 수렴을 얼마나 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 20개 테스트 케이스 중 15개(1354버스 페가세 시스템 포함)에서 MIQCR 방법은 300초 이내에 0% 최적성 갭을 달성하여 전역 최적성을 입증했다.
• MIQCR의 루트 노드 갭은 일관되게 날카로웠으며, 20개 인스턴스 중 11개에서 0%였으며, 이는 랭크 재구성의 SDP 재구성이 하한으로서 강력함을 보여준다.
• 반면, Baron 솔버는 큰 루트 갭을 보였으며(예: 118, 300, 300mod 케이스에서 100%), 5분 시간 제한 내에 개선이 거의 없었다.
• 1354버스 페가세 케이스에서 MIQCR는 204초 만에 0% 갭을 달성했고, Baron은 69% 갭에 머물렀다.
• 분기결합수기 과정에서 상한을 개선하는 데 성공했다(예: case300에서 475,783에서 475,462.2로 개선), 효과적인 해 개선을 보였다.
• 특히 Baron이 갭을 닫지 못하는 대규모 인스턴스에서 일반 솔버보다 더 뛰어난 성능을 보였다.