[논문 리뷰] Numerical invariants of Fano schemes of linear subspaces on complete intersections

Dang Tuan Hiep|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기대 차원이 1인 일반적인 완전교차곡선 $X \subset \mathbb{P}^n$ 상의 $k$차원 선형 부분공간의 Fano 스킴 $F_k(X)$에 대해 종수-차수 공식을 수립한다. 대칭 다발의 텀블링 다발과 그라스만이안 상의 적분 공식을 사용하여 차수 공식을 유도하며, 이는 정의하는 초곡면의 차수와 환경 차원에 대한 종수와 차수의 명시적 표현을 제공한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to explore the genus and degree of the Fano scheme of linear subspaces on a complete intersection in a complex projective space. Firstly, suppose that the expected dimension of the Fano scheme is one, we prove a genus-degree formula. Secondly, we give a degree formula for the Fano scheme.

연구 동기 및 목표

• 기대 차원이 1일 때 Fano 스킴 $F_k(X)$에 대한 종수-차수 공식을 유도하기 위해.
• 기대 차원 $\delta(n,\underline{d},k) \geq 0$ 이하의 임의의 경우에 대해 Plücker 매bedding 하에서 $F_k(X)$의 차수를 계산하기 위해.
• 초곡면 상의 직선 곡선에 대한 고전적 결과를 고차원 완전교차곡선으로 일반화하기 위해.
• 판별식 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$를 포함시켜 차수 공식의 새로운, 구조적으로 다름을 갖는 증명을 제공하기 위해.
• Fano 스킴 $F_k(X)$의 차수와 그라스만이안 상의 대칭다항식에서 특정 단항식의 계수 사이의 연결고리 수립하기 위해.

제안 방법

• 기대 차원이 1일 때 Fano 스킴 $F_k(X)$의 차수를 그라스만이안 $G(k+1,n+1)$ 상에서 코homology 클래스의 채르니 클래스 적분으로 표현하기 위해 가우스-보네 공식을 사용한다.
• 분할 원리 적용을 통해 $\operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$의 최고 채르니 클래스를 채르니 루트 $x_0,\dots,x_k$ 상의 대칭다항식으로 표현한다.
• 문헌 [12, 정리 3]의 적분 공식을 활용하여, 선형형식의 곱과 판별식 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ 상에서 $x_0^n \cdots x_k^n$의 계수를 통해 차수를 계산한다.
• 텀블링 다발 $S^\vee$의 구조와 그 대칭다발을 이용하여 유도 및 보편성질을 활용해 채르니 클래스를 계산한다.
• Fano 스킴 $F_k(X)$가 $\bigoplus_{i=1}^r \operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$의 전역 섹션의 영점임을 이용하여 정규다발 및 채르니 클래스 기법을 적용한다.
• 그라스만이안의 탄젠트다발의 첫 번째 채르니 클래스인 $c_1(T_G) = (n+1)\sigma_1$ 를 이용하여 조정 공식을 통해 종수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기대 차원이 1일 때 Fano 스킴 $F_k(X)$의 종수는 무엇인가?
• RQ2 기대 차원이 임의의 차원인 완전교차곡선에 대해 Plücker 매bedding 하에서 $F_k(X)$의 차수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 Fano 스킴 $F_k(X)$의 차수와 텀블링 다발의 채르니 루트 상의 대칭다항식 계수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이전 방법과 비교해 판별식 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$의 포함이 차수 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 종수-차수 공식은 곡선을 초월해 고차원 Fano 스킴으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 기대 차원 $\delta(n,\underline{d},k) = 1$ 일 때, Fano 스킴 $F_k(X)$는 기대 차원이 1이므로 매끄럽고 연결된 프로젝티브 곡선이며, 종수는 $g = 1 + \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^r \binom{d_i + k}{k+1} - n - 1\right)d$ 이다. 여기서 $d$ 는 Plücker 매bedding 하에서의 곡선의 차수이다.
• $F_k(X)$의 차수 $d$ 는 $d = \frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$ 로 주어지며, 여기서 $c(n,\underline{d},k)$ 는 다항식 $\prod_{i=1}^r \prod_{\substack{a_0+\cdots+a_k=d_i \\ a_i \in \mathbb{N}}} (a_0x_0 + \cdots + a_kx_k) \cdot (x_0 + \cdots + x_k)^{\delta(n,\underline{d},k)} \cdot \prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ 에서 $x_0^n \cdots x_k^n$ 의 계수이다.
• 기대 차원 $\delta(n,\underline{d},k) = 0$ 인 경우, 일반적인 완전교차곡선 상의 $k$-평면의 수는 $\frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$ 이며, 이는 $F_k(X)$의 차수와 일치한다.
• 종수 공식은 4차 3차원 초곡면과 $\mathbb{P}^5$ 상의 $(2,3)$형 완전교차곡선에 대한 Markusevich와 Tennenison의 결과를 일반화한다.
• 이전 작업과는 달리, 이 차수 공식은 바르멘드 행렬식 대신 판별식 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ 를 포함함으로써 구조적으로 다름을 갖는다.
• 명시적 예시들은 공식을 확인한다: $\mathbb{P}^4$ 상의 4차 3차원 초곡면의 경우 $d = 320$, $g = 801$; $\mathbb{P}^5$ 상의 $(2,3)$-완전교차곡선의 경우 $d = 180$, $g = 271$.