[논문 리뷰] Numerically Modelling Stochastic Lie Transport in Fluid Dynamics

Colin J. Cotter, Dan Crisan외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 29.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스트로나비치 노이즈가 있는 확률적 2차원 비압축 유동 방정식을 수치적으로 일致된 유한요소 방법으로 해결하기 위한 방법을 제시한다. 이는 데이터 기반 접근 방식인 스토하스틱 리 이동(Stochastic Lie Transport, SLT)에서 유도된 방정식이며, 유체 속도를 결정론적 드리프트와 공간적으로 상관된 확률적 운반으로 분해한다. 이 방법은 2차원 비압축 에일러 유동의 거시적 격자 시뮬레이션에서 비정규 통계를 성공적으로 포착하고 불확실성을 정량화하며, 시간이 지남에 따라 실제 결정론적 해를 잘 따라간다.

ABSTRACT

We present a numerical investigation of stochastic transport in ideal fluids. According to Holm (Proc Roy Soc, 2015) and Cotter et al. (2017), the principles of transformation theory and multi-time homogenisation, respectively, imply a physically meaningful, data-driven approach for decomposing the fluid transport velocity into its drift and stochastic parts, for a certain class of fluid flows. In the current paper, we develop new methodology to implement this velocity decomposition and then numerically integrate the resulting stochastic partial differential equation using a finite element discretisation for incompressible 2D Euler fluid flows. The new methodology tested here is found to be suitable for coarse graining in this case. Specifically, we perform uncertainty quantification tests of the velocity decomposition of Cotter et al. (2017), by comparing ensembles of coarse-grid realisations of solutions of the resulting stochastic partial differential equation with the "true solutions" of the deterministic fluid partial differential equation, computed on a refined grid. The time discretization used for approximating the solution of the stochastic partial differential equation is shown to be consistent. We include comprehensive numerical tests that confirm the non-Gaussianity of the stream function, velocity and vorticity fields in the case of incompressible 2D Euler fluid flows.

연구 동기 및 목표

• 이deo 유체역학에서 스토하스틱 리 운반(SLT)에서 유도된 확률적 편미분방정식(SPDE)을 수치적으로 일致된 유한요소 방법으로 해결하기 위한 방법을 개발한다.
• 고해상도 결정론적 시뮬레이션에서 얻은 공간 상관 구조 데이터를 사용하여 스토하스틱 속도 분해를 校정한다.
• 거시적 격자 SPDE 앙상블과 미세 격자 결정론적 해를 비교하여 불확실성 정량화를 수행한다.
• SPDE 앙상블에서 스트림 함수, 속도, 코리올리스장이 비정규적임을 검증한다.
• 이론적으로 타당한 스토하스틱 역학을 갖는 입자 필터를 사용한 미래의 앙상블 기반 자료 융합을 위한 기반을 마련한다.

제안 방법

• 스트로나비치 노이즈가 있는 확률적 2차원 비압축 에일러 방정식을 수치적으로 해결하기 위해 유한요소 이산화 기법을 적응한다.
• SPDE에 대해 수렴성이 보장되는 시간 이산화 방법을 구현하여 메esh 정밀도 향상에 따라 수렴함을 보장한다.
• 미세 격자 해의 라그랑주 경로에서 추정한 속도-속도 공간 상관 고유벡터를 사용하여 스토하스틱 운반 성분을 校정한다.
• 미세 격자 속도장을 거시 격자에 투영하고 상관 구조에 기반한 확률적 편향을 포함시켜 SPDE의 초기 조건을 구성한다.
• 불확실성 정량화 및 통계적 검증을 위해 SPDE 해의 앙상블을 생성한다.
• 비대칭 분포와 뚜렷한 꼬리 부분을 보여주는 박스 플롯과 첨도(kurtosis)를 포함한 통계적 검정을 통해 속도, 스트림 함수, 코리올리스장의 비정규성과 앙상블 분산을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비압축 에일러 유동에서 스토하스틱 리 운반에서 유도된 SPDE에 대해 수치적으로 일치하는 유한요소 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 SPDE 앙상블 해가 거시적 격자에서 진짜 결정론적 해의 거시적 역학을 시간이 지남에 따라 정확히 따라갈 수 있는가?
• RQ3 모델의 스토하스틱 구조에 따라 기대되는 바와 같이 SPDE 해의 통계 분포가 비정규적인가?
• RQ4 고해상도 시뮬레이션에서 얻은 공간 상관 데이터를 사용하여 스토하스틱 속도 분해를 신뢰성 있게 校정할 수 있는가?
• RQ5 앙상블 크기와 격자 정밀도를 높일수록 불확실성 정량화에서 진짜 해에 대한 정밀도가 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• SPDE에 사용된 시간 이산화 방법은 수렴성이 보장되어 있어 메쉬 정밀도 향상에 따라 진짜 해에 수렴함을 증명하였다.
• SPDE 앙상블 해는 메쉬 해상도가 높아질수록 점점 더 정확해지며, 시간이 지남에 따라 결정론적 해의 거시적 행동을 잘 따라간다.
• SPDE 앙상블의 스트림 함수, 속도, 코리올리스장은 비대칭 분포와 박스 플롯에서 두꺼운 꼬리 부분을 보이며 강한 비정규적 특성을 보인다.
• 속도 성분의 첨도 값이 정규 분포보다 높아, 무거운 꼬리와 비정규 통계의 존재를 확인한다.
• 앙상블 크기 증가와 더불어 격자 정밀도 향상에 따라 거시적 격자 SPDE 해의 불확실성이 감소하며, 이는 진짜 해에 대한 정밀도 향상을 보여준다.
• 이 방법론은 이론적으로 타당한 근거를 지닌 체계적인 접근을 제공하며, 앙상블 분산과 진짜 궤적의 포함성을 균형 있게 유지한다.