[논문 리뷰] Obstructions to Gapped Phases from Non-Invertible Symmetries

Anuj Apte, Clay Córdova외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 30.

Atomic and Subatomic Physics Research인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 3+1차원 양자장이론에서 1-form 대칭을 규격화함으로써 유도되는 비가역적 이중성 대칭이 종종 고립된 대칭 보존 진공의 존재를 차단한다는 것을 확립한다. 이는 자기이중성인 $π_{N}^{(1)}$ 이론이 $N = k^2\ell$ 이고 $-1$ 이 $ε$ 모듈로 $ε$ 에서 제곱 잔여물이어야만 고립 가능하거나 이중성 대칭을 유지할 수 있음을 증명하며, 이는 위상적 불변량과 가우스 합을 통해 삼중성 및 기타 비가역적 대칭으로 일반화된다.

ABSTRACT

Quantum systems in 3+1-dimensions that are invariant under gauging a one-form symmetry enjoy novel non-invertible duality symmetries encoded by topological defects. These symmetries are renormalization group invariants which constrain dynamics. We show that such non-invertible symmetries often forbid a symmetry-preserving vacuum state with a gapped spectrum. In particular, we prove that a self-dual theory with $\mathbb{Z}_{N}^{(1)}$ one-form symmetry is gapless or spontaneously breaks the self-duality symmetry unless $N=k^{2}\ell$ where $-1$ is a quadratic residue modulo $\ell$. We also extend these results to non-invertible symmetries arising from invariance under more general gauging operations including e.g. triality symmetries. Along the way, we discover how duality defects in symmetry protected topological phases have a hidden time-reversal symmetry that organizes their basic properties. These non-invertible symmetries are realized in lattice gauge theories, which serve to illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 3+1차원 양자장이론에서 비가역적 이중성 대칭과 고립된 고유 진공 상태가 동시에 존재할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 위상장이론(TQFT)에서 이중성 결함과 고차원 대칭으로 인해 발생하는 위상적 차단 조건을 규명하는 것.
• 리브-슐류츠-매티스 유형 정리들을 비가역적 대칭과 고차원으로 일반화하는 것.
• 이중성 결함이 대칭 보호 위상적 상태에서 수행하는 역할과 그 숨겨진 시간역전 대칭성의 역할을 탐색하는 것.
• 직접합된 다이크라프-위튼 이론과 자명한 이론을 이용한 $π_{N}^{(1)}$ 게이지 이론과 분할 함수 제약 조건을 통한 이러한 장애의 명시적 격자 실현을 구축하는 것.

제안 방법

• 3+1차원 장이론에서 $π_{N}^{(1)}$ 1-form 전역 대칭을 지닌 이론에서 이중성 결함을 위상적 대칭 연산자로 분석한다.
• 비가역적 대칭을 생성하기 위해 $S$ 및 $T$ 연산(규격화 및 스택)을 적용하며, 이는 모듈라 군의 구조를 일반화한다.
• 단순연결된 스피너 4-다양체 위의 교차 형식에 대한 가우스 합을 사용하여 분할 함수를 제약하고 이상을 탐지한다.
• 분할 함수가 $T^{-p'}S$-불변일 때 일관성에서 유도된 조건 $\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$ 을 유도한다.
• 직접합된 다이크라프-위튼 이론과 자명한 이론을 통해 자발적 이중성 대칭 붕괴를 실현하는 명시적 예를 구성한다.
• 격자 게이지 이론에서 결과를 검증하여, 자기이중성인 $π_{N}^{(1)}$ 모델이 $N \leq 4$ 일 때는 고립 가능하지 않거나 이중성 대칭을 붕괴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3+1차원 양자장이론에서 비가역적 이중성 대칭을 지닌 이론이 고립된 고유 진공 상태를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이중성 결함—비가역적 대칭 연산자—는 위상장이론에서 고립된 상태의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ3 자기이중성인 $π_{N}^{(1)}$ 이론이 고립 가능하기 위해 충족해야 할 위상적 불변량 또는 수론적 조건(예: 제곱 잔여물)은 무엇인가?
• RQ4 삼중성 및 $T^{-p'}S$ 연산으로 유도되는 더 일반적인 비가역적 대칭 역시 고립된 상태를 차단할 수 있는가?
• RQ5 자발적 이중성 대칭 붕괴는 어떻게 고립된 상태를 가능하게 하는가? 이러한 상태에서 도메인 벽의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 자기이중성인 $π_{N}^{(1)}$ 이론은 $N = k^2\ell$ 이고 $-1$ 이 $\ell$ 모듈로 제곱 잔여물이어야만 고립 가능하거나 이중성 대칭을 유지할 수 있으며, 이는 교차 형식에 대한 가우스 합 제약에서 유도된다.
• 4-다양체 위에서 $T^{-p'}S$-불변 이론의 분할 함수는 $\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$ 을 만족해야 하며, 이 조건이 성립하지 않으면 고립된 진공과는 불일치한다.
• 대칭 보호 위상적 상태의 이중성 결함는 그 융합 및 뱀금 성질을 정리하는 숨겨진 시간역전 대칭성을 지닌다.
• 자발적 이중성 대칭 붕괴는 고립된 상태를 가능하게 한다: 예를 들어, 다이크라프-위튼 이론과 자명한 이론의 직접합은 이중성 도메인 벽을 지닌 고립된 세 개의 진공 상태를 실현한다.
• $π_{N}^{(1)}$ 게이지 이론의 격자 실현은 자기이중성 모델이 $N \leq 4$ 일 때 자발적 이중성 붕괴를 보이며 고립된 고유 진공이 아니라는 것을 확인한다.
• 이 장애 메커니즘은 $π_{N}^{(1)}$ 이론을 초월하여, $T^{-p'}S$ 연산으로부터 유도되는 비가역적 대칭, 삼중성 등에도 분할 함수 제약 조건이 일관되게 적용됨으로써 일반화된다.