[논문 리뷰] Off-shell renormalization in the presence of dimension 6 derivative operators. II. UV coefficients

Daniele Binosi, Andrea Quadri|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 14.

Particle physics theoretical and experimental studies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 차원 6 미분 연산자를 포함한 아벨 힉스-키블 모형에 대해 체계적인 비가속도 1-loop 양자역학적 재정규화 절차를 제시한다. 보조 X-이론 프레임워크를 사용하여 고에너지 발산과 일반화된 다항식이 아닌 장 재정의에서 발생하는 발산을 분리한다. 모든 방사적으로 생성된 차원 6 게이지 불변 연산자에 대한 완전한 고에너지 계수를 계산하며, 비재정규화 상수 $ g $ 에 대한 의존성도 포함한다. 공호모로지 기법과 가역 쌍을 통해 게이지 독립성을 확립한다.

ABSTRACT

The full off-shell one loop renormalization for all divergent amplitudes up to dimension 6 in the Abelian Higgs-Kibble model, supplemented with a maximally power counting violating higher-dimensional gauge-invariant derivative interaction $\sim g ~ ϕ^\dagger ϕ(D^μϕ)^\dagger D_μϕ$, is presented. This allows one to perform the complete renormalization of radiatively generated dimension 6 operators in the model at hand. We describe in details the technical tools required in order to disentangle the contribution to UV divergences parameterized by (generalized) non-polynomial field redefinitions. We also discuss how to extract the dependence of the $β$-function coefficients on the non-renormalizable coupling $g$ in one loop approximation, as well as the cohomological techniques (contractible pairs) required to efficiently separate the mixing of contributions associated to different higher-dimensional operators in a spontaneously broken effective field theory.

연구 동기 및 목표

• 고에너지 이론에서 차원 6 미분 연산자를 포함한 효과적 장 이론에 대해 일관된 비가속도 재정규화 프레임워크를 개발한다.
• 일반화된 다항식이 아닌 장 재정의에서 기인한 고에너지 발산을 게이지 불변 연산자의 물리적 재정규화에서 분리한다.
• 차원 6 연산자에 대한 모든 1-Loop 고에너지 계수를 계산한다. 이는 파워-카운팅 위반 항 $\sim g\,\phi^\dagger\phi(D^\mu\phi)^\dagger D_\mu\phi$ 를 포함한 아벨 힉스-키블 모형에서 방사적으로 생성된 연산자들에 대해 수행된다.
• 공호모로지 방법을 사용하여 비재정규화 상수 $g$ 의 1-Loop 근사에서 $\beta$-함수 계수를 추출한다.
• 비물리적 장과 소스에서 기인한 게이지 의존성 기여를 체계적으로 다룸으로써 물리적 결과의 게이지 독립성을 확보한다.

제안 방법

• 물리적 힉스 자유도를 게이지 불변 장 좌표 $X_2 \sim \phi^\dagger\phi - v^2/2$ 를 통해 기술하는 보조 X-이론을 사용하며, 제약 조건은 라그랑주 승수 $X_1$ 과 소스 $\bar{c}^*$, $T_1$ 를 통해 강제한다.
• BRST 공호모로지와 함께 대수적 재정규화 접근법을 적용하여 비물리적 장 재정의와 관련된 공호모로지적으로 영인 버전을 분류하고 분리한다.
• 가역 쌍과 $R_\xi$-게이지 형식을 사용하여 다양한 고차원 연산자 기여를 체계적으로 분리하고 게이지 독립성을 확보한다.
• X-이론에서 1-PI 진폭의 1-Loop 계산을 수행하며, 발산 진폭이 고정된 수의 항으로 제한되는 약한 파워-카운팅 행동에 초점을 맞춘다.
• X-이론의 결과를 원래의 목표 이론으로 다시 매핑하기 위해 $X_1$ 과 $X_2$ 의 비가속도 축약을 수행하고, 소스를 $\phi$ 와 그 코바리언트 도함수에 대한 물리적 연산자로 변환한다.
• 차원 정규화에서 $\epsilon$-극을 사용하여 고에너지 계수를 계산하며, $\sigma$, $\chi$, $A_\mu$, $\bar{c}^*$, $T_1$, $\bar{c}$ 장을 포함한 2-, 3-, 4-점 함수의 발산 부분을 명시적으로 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 효과적 장 이론에서 고차원 상호작용을 포함한 경우, 일반화된 다항식이 아닌 장 재정의에서 기인한 고에너지 발산은 어떻게 체계적으로 물리적 재정규화의 게이지 불변 연산자에서 분리될 수 있는가?
• RQ2 파워-카운팅 위반 항 $\sim g\,\phi^\dagger\phi D^\mu\phi D_\mu\phi$ 를 포함한 아벨 힉스-키블 모형에서 방사적으로 생성된 모든 차원 6 연산자에 대한 1-Loop 고에너지 계수의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ3 비재정규화 상수 $g$ 의 $\beta$-함수 계수는 1-Loop 근사에서 에너지 스케일 $\Lambda$ 와 힉스 진공 기대값 $v$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 공호모로지 기법, 예를 들어 가역 쌍을 사용하여, 자발적 대칭 깨짐을 겪는 게이지 이론에서 다양한 고차원 연산자 간의 혼합을 어떻게 분리할 수 있는가?
• RQ5 X-이론에서 게이지 의존성 계수의 역할은 무엇이며, 이는 목표 이론에서 물리적 고에너지 계수의 게이지 독립성을 어떻게 확보하는가?

주요 결과

• 영 운동량에서 $\sigma\sigma\sigma$ 점의 고에너지 계수는 $\frac{3}{8\pi^2 v^3}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$ 이며, 비피너만 게이지가 아닌 경우 $\delta_{\xi 0}$ 의 명시적 의존성이 있다.
• $\bar{c}^*\sigma\sigma$ 점은 1-Loop 발산이 없음을 보이며, $\overline{\Gamma}^{(1)}_{\bar{c}^*\sigma\sigma} = 0$ 이다. 이는 이 소스-장 결합에서 고에너지 발산이 존재하지 않음을 의미한다.
• $\chi\chi\chi\chi$ 4점 함수의 발산 부분은 $\frac{3}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2 + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$ 이며, 추가로 $\delta_{\xi 0}$-의존성 항과 운동량 의존성 수정항이 있다.
• 영 운동량에서 $\sigma\sigma\chi\chi$ 점의 고에너지 계수는 $\frac{1}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$ 이며, $M_A^2$ 와 $\delta_{\xi 0}$ 에 대한 명시적 의존성이 있다.
• $T_1\sigma\sigma$ 점의 고에너지 계수는 영 운동량에서 $\frac{1}{8\pi^2 v}\big(m^2(3M^2 + 2(1 - \delta_{\xi 0})M_A^2) + 6(M^4 + M_A^4)\big)\frac{1}{\epsilon}$ 이며, 비트리비얼한 게이지 의존성이 확인된다.
• $\sigma\chi\chi$ 점은 $\frac{g}{\Lambda v}$ 비례하는 운동량 의존성 발산 항을 포함하며, 이는 $m^2$, $M^2$, $M_A^2$ 를 포함한 계수를 가진다. 이는 고에너지 구조에서 비트리비얼한 혼합이 있음을 보여준다.