[논문 리뷰] On a conjecture about maximum scattered subspaces of $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$

Daniele Bartoli, Bence Csajbók외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 $ℋ(2,q^6)$ 작용 하에서 $ℋ_{q^6} \times ℋ_{q^6}$ 내에서 형식 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4}) : x ∈ ℋ_{q^6}\}$ 의 최대 산산각 하위공간에 대해 정확히 $⌊(q^2+q+1)(q-2)/2⌋$ 개의 동치류가 존재함을 증명한다. 이 결과는 2018년 Csajbók, Marino, Polverino, Zanella 가 제기한 이러한 하위공간의 분류에 대한 추측을 대수기하학과 추적 조건을 이용하여 다항식 근 분석을 통해 동치류를 특성화함으로써 확인한다.

ABSTRACT

Maximum scattered subspaces are not only objects of intrinsic interest in finite geometry but also powerful tools for the construction of MRD-codes, projective two-weight codes, and strongly regular graphs. In 2018 Csajbók, Marino, Polverino, and Zanella introduced a new family of maximum scattered subspaces in $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$ arising from polynomials of type $f_b(x)=bx^q+x^{q^4}$ for certain choices of $b \in \mathbb{F}_{q^6}$. Throughout characterizations for $f_{b_2}(x)$ and $f_{b_1}(x)$ giving rise to equivalent maximum scattered subspaces, the authors conjectured that the portion of new and inequivalent maximum scattered subspaces obtained in this way is quite large. In this paper first we find necessary and sufficient conditions for $b$ to obtain a maximum scattered subspace. Such conditions were found independently with different techniques also by Polverino and Zullo 2019. Then we prove the conjecture on the number of new and inequivalent maximum scattered subspaces of this family.

연구 동기 및 목표

• Csajbók 등(2018)의 추측 7.5를 해결하기 위해 $ℋ_{q^6} \times ℋ_{q^6}$ 내에서 형식 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ 의 서로 다른 최대 산산각 하위공간의 수를 규명한다.
• 임의의 소수 거듭제곱 $q$ 에 대해 $ℋ(2,q^6)$-동치류의 정확한 수를 결정한다.
• 관련된 $q$-다항식의 핵심 분석을 통해 $b \in ℋ_{q^6}$ 에 대해 $U_b$ 가 최대 산산각이 되는 데 필요한 충분한 조건을 수립한다.
• 특히 추적 조건과 유한체 내 근의 수를 분석하여 대수기하학 기법을 통해 이러한 하위공간을 분류한다.

제안 방법

• 모든 $m \in ℋ_{q^6}$ 에 대해 $\dim_{ℏ_q}(\ker r_{m,b}) \leq 1$ 를 만족시키는 $q$-다항식 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ 의 핵심을 분석함으로써 최대 산산각 하위공간 $U_b$ 를 특성화한다.
• $\mathbb{F}_q$ 상에서의 추적 항등식을 사용하여 핵심 조건을 만족시키는 $b$ 에 대한 조건을 유도하며, 특히 $\mathbb{F}_{q^2} \setminus \mathbb{F}_q$ 에 속하는 $L$ 에 대한 유리 함수에 대해 $\mathrm{Tr}_{q/2}(\alpha) = 0$ 를 중심으로 분석한다.
• $\mathbb{F}_q$ 상에서 $F(T) = (T+K)(T+L)(T+L^q)$ 의 삼차 다항식 방정식의 해를 세며, 핵심 제약 조건에서 유도된 추적 조건을 만족시키는지 확인한다.
• 해의 수가 $\mathbb{F}_q$ 내에서 0, 1, 2, 또는 3개의 서로 다른 근을 가지는 경우로 나누어 계수를 계산하며, 조합론적 및 대수기하학적 추론을 적용한다.
• $\mathbb{F}_q$ 상에서의 기약 포물선과 유리점의 결과를 적용하여 $K^2(U^2+U) = V(K+1)$ 와 같은 방정식의 아핀 해를 세며, 여기서 $V = L^2/(L^2+1)$ 이다.
• 추적 조건을 만족하는 기약, 삼차, 중복근을 가진 다항식의 수를 합산하여 최종적으로 유효한 $b$-매개변수의 총 수를 계산하고, 이를 통해 최종 동치류 수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ 의 최대 산산각 하위공간에 대해 $ℋ(2,q^6)$-동치류는 $ℋ_{q^6} \times ℋ_{q^6}$ 내에서 얼마나 존재하는가?
• RQ2 하위공간 $U_b$ 가 최대 산산각이 되기 위한 $b \in ℋ_{q^6}$ 에 대한 필수 및 필요 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 동치류의 수는 $q$ 에 따라 어떻게 달라지며, 추측된 공식 $\lfloor(q^2+q+1)(q-2)/2\rfloor$ 와 일치하는가?
• RQ4 이러한 하위공간의 분류는 유한체 상에서의 추적 방정식 해의 수를 세는 것으로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 최대 산산각 하위공간 $U_b$ 의 $ℋ(2,q^6)$-동치류의 수는 정확히 $\lfloor(q^2 + q + 1)(q - 2)/2\rfloor$ 이며, Csajbók 등(2018)의 추측 7.5 를 확인한다.
• $b \in ℋ_{q^6}$ 에 대해 하위공간 $U_b$ 는 모든 $m \in ℋ_{q^6}$ 에 대해 $q$-다항식 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ 의 $\mathbb{F}_q$-핵심 차원이 1 이하일 때에만 최대 산산각이 된다.
• 유효한 $b$-매개변수의 총 수는 $3\gamma_0 + \frac{q - 2\gcd(n,2)}{2}$ 와 같으며, 여기서 $\gamma_0$ 는 추적 조건을 만족하는 기약 삼차 다항식의 수이며, $\gamma_0 = \frac{q^3 - q^2 - 2q + 2\gcd(n,2) - 2}{6}$ 이다.
• 만약 $q$ 가 짝수이면 동치류의 수는 정확히 $\frac{1}{2}(q^3 - q^2 - q - 2)$ 이며, 이는 $\mathbb{F}_q$ 내에서 0, 1, 2, 또는 3개의 근을 가지는 다항식의 수를 합산하여 유도된다.
• 분류 과정은 $U \in \mathbb{F}_q$ 에 대해 $U^2 + U = \frac{1}{K+1}$ 와 같은 방정식의 해를 세는 것으로 구성되며, $K \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 이고, 그 해의 수는 포물선 기하학을 통해 분석된다.
• 결과적으로 이는 선형 동치에 대해 이러한 하위공간을 완전히 분류한 것으로, 새로운 MRD 코드, 프로젝티브 두 무게 코드, 강한 정규 그래프를 구성하는 데 기초가 되는 중요한 단계를 제공한다.