[논문 리뷰] On a conjecture of Erdos and Simonovits: Even Cycles

Peter Keevash, Benny Sudakov외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 23.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에르되시와 시모노비츠의 극단적 그래프 이론에 대한 추측을 증명한다. $C_k$ (여기서 $k > 2\ell$ 이고 홀수임)를 금지하는 것으로, 짝수 사이클 $\mathcal{C}_{2\ell}$ 와 함께 고려할 경우, $\ell \in \{2,3,5\}$ 에서 터런 수가 아스임토틱으로 자란키에비츠 수 $\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ 와 일치함을 보인다. 핵심 결과는 안정성에 관한 것으로, 거의 극단적인 그래프는 이분 그래프이자 의사난수적 성질을 가지며, 큰 $n$ 에서 극단적인 그래프는 일반화된 다각형의 인cidance 그래프가 된다.

ABSTRACT

Let $\mc{F}$ be a family of graphs. A graph is {\em $\mc{F}$-free} if it contains no copy of a graph in $\mc{F}$ as a subgraph. A cornerstone of extremal graph theory is the study of the {\em Turán number} $ex(n,\mc{F})$, the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free graph on $n$ vertices. Define the {\em Zarankiewicz number} $z(n,\mc{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free {\em bipartite} graph on $n$ vertices. Let $C_k$ denote a cycle of length $k$, and let $\mc{C}_k$ denote the set of cycles $C_{\ell}$, where $3 \le \ell \leq k$ and $\ell$ and $k$ have the same parity. Erdős and Simonovits conjectured that for any family $\mc{F}$ consisting of bipartite graphs there exists an odd integer $k$ such that $ex(n,\mc{F} \cup \mc{C}_k) \sim z(n,\mc{F})$. They proved this when $\mc{F}={C_4}$ by showing that $ex(n,\{C_4,C_5\}) \sim z(n,C_4)$. In this paper, we extend this result by showing that if $\ell \in \{2,3,5\}$ and $k > 2\ell$ is odd, then ${ex(n,\mc{C}_{2\ell} \cup {C_k}) \sim z(n,\mc{C}_{2\ell})$. Furthermore, if $k > 2\ell + 2$ is odd, then for infinitely many $n$ we show that the extremal $\mc{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-free graphs are bipartite incidence graphs of generalized polygons. We observe that this exact result does not hold for any odd $k < 2\ell$, and furthermore the asymptotic result does not hold when $(\ell,k)$ is $(3,3)$, $(5,3)$ or $(5,5)$. Our proofs make use of pseudorandomness properties of nearly extremal graphs that are of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 에르되시-시모노비츠 추측을 확장하여, 이분 그래프 가족에 하나의 홀수 사이클 $C_k$ 를 추가로 금지할 경우, 극단적인 간선 수가 자란키에비츠 수 $\mathrm{z}(n,\mathcal{F})$ 와 일치할 수 있음을 제안함.
• 거의 극단적인 $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-자유 그래프가 의사난수적이고 이분 그래프임을 보여주는 안정성 정리를 수립함.
• 극단적인 그래프의 구조적 통찰을 제공하기 위해, $k > 2\ell + 2$ 인 경우, 무한히 많은 $n$ 에서 극단적인 그래프가 일반화된 다각형의 인cidance 그래프임을 증명함.
• 작은 $k$ 에서의 추측의 한계를 밝혀내기 위해, $k=3$ 이며 $\ell=3$ 또는 $5$ 인 경우 실패함을 보임. 이 경우 점근적 결과는 성립하지 않음.

제안 방법

• 거의 극단적인 그래프의 의사난수적 성질을 이용하여, 이웃 집합의 성장과 색수를 제어함. 스펙트럼적 및 조합적 추론을 활용함.
• 최소 차수 조건을 확보하기 위해 정점 제거 과정을 적용하여, 고유값 및 부분그래프 수세기 기법을 사용할 수 있도록 함.
• 거리 기반 이웃 집합 확장 추론을 사용하여, $N_r(v)$ 의 크기를 유계로 제한하고, 이러한 집합에 의해 유도되는 부분그래프의 색수를 유계로 제한함.
• $r \leq 2\ell$ 인 경우 $G[N_r(v)]$ 의 평균 차수는 $2k$ 미만임을 이용하여 색수는 최대 $2k$ 이며, 이를 짝수성 기반 독립집합과 결합하여 $\chi(G)$ 를 유계로 제한함.
• 이전 연구에서 유도된 의사난수성 렘마의 비이분 그래프판을 적용하여 고유값 집중 및 간선 분포 결과를 도출함.
• 유한 기하학에서의 극단적 그래프 구성 — 특히 일반화된 다각형의 인cidance 그래프 — 를 활용하여 엄밀한 하한을 확보하고 점근적 등식을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 사이클 $C_k$ 를 금지할 경우, $k > 2\ell$ 이면 $\mathcal{C}_{2\ell}$-자유 그래프에서의 극단적인 간선 수가 자란키에비츠 수 $\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ 와 일치하는가?
• RQ2 에르되시-시모노비츠 추측이 $\ell \in \{2,3,5\}$ 인 $\mathcal{F} = \mathcal{C}_{2\ell}$ 에서 검증 가능한가? 그리고 $k$ 에 대한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ3 거의 극단적인 $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-자유 그래프는 의사난수적이고 이분 그래프인가? 그리고 일반화된 다각형의 인cidance 그래프와 유사한가?
• RQ4 점근적 등식 $\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ 가 실패하는 조건은 무엇이며, 작은 $k$ 에서 반례가 발생하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 거의 극단적인 그래프의 색수는 최소 차수와 사이클 길이에 따라 유계로 제한될 수 있는가? 이는 그래프의 구조에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $\ell \in \{2,3,5\}$ 이고 홀수 $k > 2\ell$ 이면, 터런 수는 $\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$ 를 만족하며, 이는 에르되시-시모노비츠 추측이 이 경우에 성립함을 확인함.
• 평균 차수 $d = \Theta(n^{1/\ell})$ 를 가진 $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-자유 그래프는 최소 $d^{\ell+1} - o(n^{1+1/\ell})$ 개의 간선을 가진 이분 부분그래프를 포함함.
• 만약 $d \geq (1+o(1))(n/2)^{1/\ell}$ 이면, 평균 차수는 $d \sim (n/2)^{1/\ell}$ 를 만족하며, 극단적인 그래프의 간선 수는 $e(G) \sim (n/2)^{1+1/\ell}$ 를 만족함.
• $k > 2\ell + 2$ 이고 무한히 많은 $n$ 에서, $\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-자유 극단적인 그래프는 일반화된 다각형의 이분 인cidance 그래프임.
• $k < 2\ell$ 이면 결과가 성립하지 않으며, $(\ell,k) \in \{(3,3),(5,3),(5,5)\}$ 일 경우 점근적 결과도 성립하지 않아, $k > 2\ell$ 조건이 필수적임을 시사함.
• 거의 극단적인 그래프의 색수는 $\chi(G) < (4k)^{\ell+1}/c^\ell$ 로 유계로 제한되며, 여기서 $c$ 는 최소 차수와 관련된 상수로, 이는 그래프의 구조적 규칙성을 시사함.