[논문 리뷰] On a generalization of the Dirac bracket in the De Donder-Weyl Hamiltonian formalism

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 19.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비가역 라그랑주 장 이론에 대해 딜라크 브라켓을 드 데온더-웨일러(Dirac bracket to the De Donder-Weyl) 해밀턴 형식으로 일반화하며, 제약 동역학을 다중심플렉틱 장 이론으로 확장한다. 제2류 제약 조건 하에서 해밀턴 $(n-1)$-형식에 대해 딜라크 유사 브라켓을 도입하여 파울리-거르텐하버 대수적 구조를 유지하며, 제약 조건이 약한 의미에서 0이 되고 브라켓이 반대칭성과 일반화된 자코비 항등식을 만족함을 보장한다.

ABSTRACT

The elements of the contrained dynamics algorithm in the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian theory for degenerate Lagrangian theories are discussed. A generalization of the Dirac bracket to the DW Hamiltonian theory with second class constraints (defined in the text) is presented.

연구 동기 및 목표

• 비가역 라그랑주 장 이론에 대해 딜라크 브라켓 형식을 드 데온더-웨일러 해밀턴 프레임워크로 확장하는 것.
• 표준 정규성 조건이 실패하는 장 이론, 예를 들어 스핀어 장과 같은 경우에 제약 동역학의 과제를 다루는 것.
• 제2류 제약 조건을 존중하고 대수적 닫힘을 유지하는 해밀턴 $(n-1)$-형식 위에서 일관된 브라켓 연산을 정의하는 것.
• 장 이론의 명시적 시공간 대칭성을 갖는 전기적 양자화의 고전적 기초를 제공하는 것.
• Lepage 등가형과 제약 조건이 있는 변분 해석학을 통해 일반화된 브라켓의 기하학적 해석을 탐색하는 것.

제안 방법

• 점 입자 역학에서의 딜라크 브라켓 구성 방식을 다중심플렉틱 구조인 드 데온더-웨일러 형식에 적용한다.
• 파울리-거르텐하버 브라켓과 제약 브라켓 행렬의 역행렬 $\mathfrak{C}_{mn}^{-1}$ 을 사용하여 해밀턴 $(n-1)$-형식에 대한 일반화된 딜라크 브라켓을 정의한다.
• 수정된 브라켓 공식을 도입한다: $\{[F,G]\}^D = \{[F,G]\} - \sigma \{[F,\mathfrak{C}_m]\} \bullet (\mathfrak{C}_{mn}^{-1} \wedge \{[\mathfrak{C}_n,G]\})$, 여기서 $\sigma$ 는 부호 인자이다.
• 제약 조건과의 브라켓이 약한 의미에서 0이 되도록 보장하기 위해 조건 $\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$ 을 유도하며, 이는 제약 조건의 닫힘에서 유래된다.
• 곱셈에 대해 0-형식을 포함하도록 브라켓을 확장한다: $\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$, 이는 대수적 일관성을 유지한다.
• 다양체의 다중심플렉틱 구조에서 게이지 불변성과 접속 불변성을 확보하기 위해 수직 형식에 모odulo한 미분형식의 동치류를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딜라크 브라켓 형식은 어떻게 비가역 장 이론에 대해 드 데온더-웨일러 해밀턴 형식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 다중심플렉틱 장 이론에서 제2류 제약 조건이 있는 제약 동역학에 적합한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 파울리-거르텐하버 브라켓은 어떻게 수정되어야 하며, 제약 조건이 약한 의미에서 0이 되고 반대칭성과 자코비 항등식을 유지할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 딜라크 브라켓은 0-형식 또는 $n$-형식과 곱해질 때 어떻게 행동하는가? 그리고 라이프니츠 유사 법칙을 만족하는가?
• RQ5 이 구성은 변분 해석학에서 Lepage 등가형 또는 제약 조건이 있는 카르탕 형식을 통해 기하학적으로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 딜라크 브라켓 $\{[F,G]\}^D$ 는 해밀턴 $(n-1)$-형식에 대해 정의되며, 약한 반대칭성을 만족한다: $\{[F,G]\}^D \approx -\{[G,F]\}^D$.
• 브라켓은 일반화된 자코비 항등식을 만족한다: $\{[\{[F,G]\}^D,K]\}^D + \{[\{[G,K]\}^D,F]\}^D + \{[\{[K,F]\}^D,G]\}^D \approx 0$.
• 어떤 해밀턴 $(n-1)$-형식과 제2류 제약 조건 사이의 딜라크 브라켓은 약한 의미에서 0이 된다: $\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$, 이는 제약 조건이 유지됨을 보장한다.
• 브라켓은 0-형식과 함께 라이프니츠 성질을 만족한다: $\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$ 와 $\{[F,kl]\}^D = \{[F,k]\}^D l + k \{[F,l]\}^D$, 이는 곱셈에 대한 일관성의 확장을 보장한다.
• 수직 형식에 모odulo한 동치류의 사용 덕분에 구성은 접속과 대표 형식의 선택에 영향을 받지 않는다.
• 이 형식은 드 데온더-웨일러 의미에서 비가역이지만 제2류 제약 조건을 갖는 장 이론, 예를 들어 딜라크 스핀어 장 이론에도 적용 가능하다.