[논문 리뷰] On a problem of Ramachandra and approximation of functions by Dirichlet polynomials with bounded coefficients

Johan Andersson|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 19.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 계수의 크기가 유계인 디리클레 다항식에 의한 함수의 근사에 관한 라마크라마다의 추측을 보다 정교화된 형태로 해결한다. 쿼시해석성과 페처스키 재배열 정리의 도구를 사용하여, 근사 오차의 L² 노름의 하한이 0으로 수렴하는지 여부를 정확히 판별하는 기준을 설정한다: ∑(log Φ(n))/(n log²n)의 수렴 여부에 따라 결정되며, 이는 리만 제타함수 이론에서의 보편성과 하한에 대한 정확한 조건을 제공한다.

ABSTRACT

We prove effective results on when a function can be approximated by a Dirichlet polynomial with bounded coefficients. Assuming that Φ(n) is an increasing function we prove that the set of polynomials {\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}: N \geq 2, |a_n| \leq Φ(n)}, is dense in L^2(0,H) if and only if \sum_{n=2}^\infty \frac{\log Φ(n)} {n \log^2 n} = \infty. We also prove variants of this result for generalized Dirichlet polynomials. The main tools are theorems of Paley and Wiener related to quasianalyticity and the Pechersky rearrangement theorem. We use this result to give precise conditions on when a conjecture of Ramachandra is true and when it is false. We prove that whenever Φ(n) is a positive increasing function then \lim_{N o \infty} \min_{|a_n| \leq Φ(n)} \int_0^H \abs{1+\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}}^2 dt =0, if and only if the above sum is divergent. This has applications on lower bounds for moments of the Riemann zeta-functions in short intervals close to Re(s)=1, and to questions of Universality for zeta-functions on and close to their abscissa of convergence.

연구 동기 및 목표

• 증가하는 함수 Φ(n)에 대해 계수의 크기가 |aₙ| ≤ Φ(n)인 디리클레 다항식으로 함수를 근사할 수 있는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 그러한 근사의 L² 노름이 0이 되지 않는다는 라마크라마다의 추측의 보다 정교화된 형태를 해결하는 것.
• 리만 제타함수의 보편성 및 비보편성에 대한 날카로운 기준을 제시하는 것, 특히 Re(s) = 1 직선에서의 성질을 중심으로 한다.
• 리만 제타함수 및 기타 L-함수의 짧은 간격에서의 모멘트에 대해 효과적인 하한을 도출하는 것.

제안 방법

• 쿼시해석성에 관한 펄레이-위너 정리를 적용하여 L²(0,H)에서 디리클레 다항식의 스칼라 곱의 조밀도를 특성화한다.
• 페처스키 재배열 정리를 사용하여 L²-노름에서 부분합의 행동을 제어한다.
• 근사 성질의 임계 조건으로서 ∑(log Φ(n))/(n log²n)의 수렴 여부를 분석한다.
• 문제를 L²(0,H)에서의 힐버트 공간 이론으로 환원하여, 디리클레 다항식을 함수 공간의 원소로 간주한다.
• 쌍대성과 극값 원리를 적용하여 |aₙ| ≤ Φ(n)인 계수 집합 위에서 L² 노름을 최소화한다.
• d(n) 등의 산술 계수를 가진 일반화된 디리클레 다항식과 (n+α)^{it-1} 형태의 이동 다항식으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증가하는 함수 Φ(n)에 대해 |aₙ| ≤ Φ(n)인 디리클레 다항식의 집합이 L²(0,H)에서 조밀한가?
• RQ2 N → ∞일 때 ∫₀ᴴ |1 + ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1}|² dt의 하한이 0이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 리만 제타함수는 언제 Re(s) = 1 직선에서 보편적이지 않으며, 그 짧은 간격에서의 모멘트에 대해 어떤 하한을 확보할 수 있는가?
• RQ4 계수의 크기가 유계인 디리클레 다항식의 근사 성질은 ∑(log Φ(n))/(n log²n)의 수렴 여부와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 유사한 결과는 허위츠 및 레르히 제타함수와 같은 다른 제타함수로도 확장될 수 있는가?

주요 결과

• |aₙ| ≤ Φ(n)인 디리클레 다항식 ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1}의 집합은 L²(0,H)에서 조밀한데, 이는 ∑_{n=2}^∞ (log Φ(n))/(n log²n) = ∞일 때에만 성립한다.
• N → ∞일 때 ∫₀ᴴ |1 + ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1}|² dt의 하한이 0으로 수렴하는 것은 동치로 ∑_{n=2}^∞ (log Φ(n))/(n log²n)가 발산할 때 성립한다.
• 리만 제타함수의 경우, ∫₂^∞ (1−ω(t))/(t log t) dt < ∞이면 σ ≥ ω(T)일 때 ∫_T^{T+δ} |ζ(σ+it)| dt ≥ C_δ > 0 이다.
• 이 결과는 허위츠 제타함수로도 확장되며, 동일한 적분 조건을 만족하면 σ ≥ ω(T)일 때 ∫_T^{T+δ} |ζ(σ+it,α)| dt ≥ C_δ > 0 이다.
• 소수 계수를 가진 디리클레 다항식의 경우, 노름이 0에서 멀리 떨어져 있도록 유지되기 위한 임계 조건은 ∑_p (log Φ(p))/(p log p) < ∞ 이다.
• 이 논문은 Re(s) = 1에서 허위츠 제타함수의 L¹ 노름에 대해 T에 의존하지 않는 첫 번째 하한을 확립하여, 그 직선에서의 비보편성을 증명한다.