[논문 리뷰] On adaptive low-depth quantum algorithms for robust multiple-phase estimation

Haoya Li, Hongkang Ni외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 적응 신호 처리와 런타임 증폭을 사용하여 다중 고유값을 가진 양자 위상 추정에서 강건한 다중단계 추정(RMPE) 알고리즘을 제안한다. 이는 하이젠베르크 제한 스케일링을 달성한다. 알고리즘은 정수 거듭제곱 모델과 실수 거듭제곱 모델 모두에서 작동하며, 최소한의 앤시일라 큐비트를 요구하고 초기 상태의 잔류 오차를 잘 견디며, 간격이 알려진 경우 잔류 에너지 비례하는 계수를 가진 최적의 런타임 스케일링을 달성한다.

ABSTRACT

This paper is an algorithmic study of quantum phase estimation with multiple eigenvalues. We present robust multiple-phase estimation (RMPE) algorithms with Heisenberg-limited scaling. The proposed algorithms improve significantly from the idea of single-phase estimation methods by combining carefully designed signal processing routines and an adaptive determination of runtime amplifying factors. They address both the {\em integer-power} model, where the unitary $U$ is given as a black box with only integer runtime accessible, and the {\em real-power} model, where $U$ is defined through a Hamiltonian $H$ by $U = \exp(-2π\mathrm{i} H)$ with any real runtime allowed. These algorithms are particularly suitable for early fault-tolerant quantum computers in the following senses: (1) a minimal number of ancilla qubits are used, (2) an imperfect initial state with a significant residual is allowed, (3) the prefactor in the maximum runtime can be arbitrarily small given that the residual is sufficiently small and a gap among the dominant eigenvalues is known in advance. Even if the eigenvalue gap does not exist, the proposed RMPE algorithms can achieve the Heisenberg limit while maintaining (1) and (2).

연구 동기 및 목표

• 고유값 간격이 작거나 존재하지 않을 때 다중 고유값을 추정하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 최소한의 앤시일라 큐비트를 사용하면서도 초기 상태의 왜곡에 강건하고 높은 정확도를 유지하는 저깊이 양자 알고리즘을 설계하기 위해.
• 최대 런타임의 계수를 임의로 작게 만들 수 있도록 하면서도 하이젠베르크 제한 총 런타임 스케일링을 달성하기 위해.
• 이명 및 스펙트럼 누설 문제를 극복하여 단일위상 추정 기법을 다중위상 경우로 확장하기 위해.
• 코herence 시간 제한과 완벽하지 않은 초기 상태에 대한 내성을 바탕으로 조기에 실패 내성 양자 컴퓨터를 지원하기 위해.

제안 방법

• 이름 없는 다중 고유모드 시스템에서의 이명을 피하기 위해 반복적으로 위상 추정을 정밀화하는 적응형 런타임 증폭 요소를 사용한다.
• 하이브리드 신호 처리 접근 방식을 적용: 간격이 있는 경우 ESPRIT, 간격이 없는 경우 수정된 선형 스펙트럼 추정을 사용한다.
• 오차와 해상도를 제어하기 위해 $\tau$, $\rho$, $\beta$, $\beta-\beta$, $K_1$, $K_2$로 조정된 두 단계 신호 처리 서브루틴을 적용한다.
• 추정 오차 수준 $M_\text{ℓ}$에 따라 신호 처리 서브루틴 간의 런타임 기반 전환 메커니즘을 도입한다.
• 연속적인 런타임 제어를 가능하게 하여 정수 거듭제곱 모델보다 더 높은 해상도를 확보할 수 있도록 실수 거듭제곱 모델 $U = e^{-2\tau i H}$를 활용한다.
• 스펙트럼 간격이 없더라도 정확한 신호 처리를 보장하기 위해 주파수 분리에 대한 새로운 경계를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중위상 추정이 앤시일라 큐비트 사용을 최소화하면서도 하이젠베르크 제한 총 런타임 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ2 적응형 양자 위상 추정에서 다중 고유모드로 인한 이명 효과는 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 간격에 의존하지 않으면서도 최적의 스케일링을 유지하면서 최대 런타임을 독립적으로 만들 수 있는가?
• RQ4 고유값 간격이 임의로 작아질 경우 어떤 신호 처리 기법이 강건한 추정을 가능하게 하는가?
• RQ5 잔류 상태 에너지가 낮을 경우 저깊이 양자 알고리즘에서 런타임 계수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 RMPE 알고리즘은 간격이 있는 경우 총 런타임 스케일링 $T_{\text{total}} = \tilde{O}_S(\omega^{-2}\Delta^{-1} + \omega^{-1}\epsilon^{-1})$ 에 하이젠베르크 제한을 달성한다.
• 최대 런타임은 $T_{\text{max}} = O_S(\max\{\omega^{-1}\Delta^{-1}, \omega\epsilon^{-1}\})$ 로 스케일링되며, 잔류 에너지가 작을 경우 계수는 $\omega$ 비례한다.
• 알고리즘은 $|c_{\text{res}}|^2 \leq \omega < \beta$ 인 초기 상태 잔류 오차를 견디며, $\omega \approx \beta$ 일 때도 정확도를 유지한다. 여기서 $\beta$ 는 최소 고유상태 겹침이다.
• 간격이 없는 경우에도 알고리즘은 여전히 하이젠베르크 스케일링을 달성하면서 낮은 앤시일라 큐비트 수와 잔류 오차 내성 특성을 유지한다.
• 하이브리드 신호 처리 전략은 모든 고유값이 진짜 값의 $\epsilon$-구역 내에서 추정될 확률이 $1 - \rho$ 이상이 되도록 보장한다.
• 최대 런타임의 계수는 $\omega$ 가 충분히 작고 사전에 스펙트럼 간격이 알려져 있을 경우 임의로 작게 만들 수 있다.