[논문 리뷰] On algebraic structures of the Hochschild complex

Hossein Abbaspour|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 42인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다양한 대수적 조건—캘라비-ยอ우, 유도된 포incare dualit, 개방형 및 폐쇄형 프로페르스 대수—하에 미분가환대수의 호크시ลด 코homology 및 homology 위에 바탈린-빌코비츠(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수적 구조를 수립한다. 이는 자유 루프 공간 호몰로지 위의 스트링 토폴로지 연산에 대한 대수적 모델을 제공한다. 주요 결과는 대칭 개방 프로페르스 대수 A일 때 Hochschild 코homology $ HH^*(A, A^u) $가 BV 구조를 지니며, 폐쇄형 프로페르스 대수일 경우 $ HH^*(A,A) $가 BV 구조를 갖는다는 것이다. 이는 콘스의 정확열을 통해 수월한 현상도 연결되며, 수학적 구조는 수학적 구조를 통해 스트링 브라켓을 정의한다.

ABSTRACT

We first review various known algebraic structures on the Hochschild (co)homology of a differential graded algebras under weak Poincar{é} duality hypothesis, such as Calabi-Yau algebras, derived Poincar{é} duality algebras and closed Frobenius algebras. This includes a BV-algebra structure on $HH^*(A,A^\vee)$ or $HH^*(A,A)$, which in the latter case is an extension of the natural Gerstenhaber structure on $HH^*(A,A)$. As an example, after proving that the chain complex of the Moore loop space of a manifold $M$ is a CY-algebra and using Burghelea-Fiedorowicz-Goodwillie theorem we obtain a BV-structure on the homology of the free space. In Sections 6 we prove that these BV/coBVstructures can be indeed defined for the Hochschild homology of a symmetric open Frobenius DG-algebras. In particular we prove that the Hochschild homology and cohomology of a symmetric open Frobenius algebra is a BV and coBV-algebra. In Section 7 we exhibit a BV structure on the shifted relative Hochschild homology of a symmetric commutative Frobenius algebra. The existence of a BV-structure on the relative Hochschild homology was expected in the light of Chas-Sullivan and Goresky-Hingston results for free loop spaces. In Section 8 we present an action of Sullivan diagrams on the Hochschild (co)chain complex of a closed Frobenius DG-algebra. This recovers Tradler-Zeinalian \cite{TZ} result for closed Froebenius algebras using the isomorphism $C^*(A ,A) \simeq C^*(A,A^\vee)$.

연구 동기 및 목표

• 미분가환대수 A에 대해 캘라비-요우 및 유도된 포incare 이중성 조건 하에서 Hochschild 코homology 및 호몰로지 위에 BV 대수적 구조를 구성한다.
• 대칭 개방 프로페르스 대수일 경우 $ HH^*(A, A^\nu) $와 폐쇄형 프로페르스 대수일 경우 $ HH^*(A,A) $에 BV 구조를 수립한다.
• 이러한 대수적 구조가 자유 루프 공간 호몰로지 위의 위상수학적 스트링 토폴로지 연산과 Hochschild (코)호몰로지 간의 동형사상에 의해 관련됨을 밝힌다.
• 사이클릭 및 음의 사이클릭 코호몰로지가 Hochschild 코호몰로지의 BV 구조로부터 중력 대수적 구조를 유도함을 보인다.
• 폐쇄형 프로페르스 대수를 통해 Sullivan의 현도 다이어그램이 Hochschild 체인 위에 작용하는 유도 대수적 모델을 제공한다.

제안 방법

• Hochschild (코)호몰로지를 DG 모듈의 유도 범주 내에서 유도 함자로 이해하기 위해 유도 함자 이론과 모델 범주론을 사용한다.
• Hinich의 정리를 적용하여 DG 모듈의 유도 범주를 복합체의 유도 범주와 연결한다.
• 수축 호모토피와 차수 1의 연산자 $ e $를 사용하여 캘라비-요우 및 유도된 포incare 이중성 대수에 대해 $ HH^*(A,A) $ 위에 BV 구조를 수립한다.
• 대칭적이고 가환적인 개방형 프로페르스 대수에 대해 이동된 상대 Hochschild 호몰로지 구성법을 통해 $ HH_*(A,A) $ 및 $ HH^*(A,A^\nu) $ 위에 BV 구조를 구성한다.
• 폐쇄형 프로페르스 대수 A에 대해 Sullivan의 현도 다이어그램이 Hochschild 체인 위에 작용하며, 이는 사이클릭 코호몰로지 위에 중력 대수적 구조를 유도한다.
• Connes의 정확열을 사용하여 Hochschild 코호몰로지의 BV 구조를 사이클릭 코호몰로지로 올리며, 스트링 브라켓을 $ \{x_1,\dots,x_k\} := i(b(x_1)\cup\cdots\cup b(x_k)) $ 로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분가환대수 $ A $에 대해 $ HH^*(A,A) $가 바탈린-빌코비츠 대수적 구조를 지니기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 자유 루프 공간의 호몰로지 $ H_*(LM) $ 위의 BV 구조는 Hochschild 코호몰로지를 통해 어떻게 대수적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ3 어떤 대수적 구조가 $ HH^*(A,A^\nu) $ 위에 BV 구조를 보장하며, 이는 스트링 토폴로지 연산과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 모듈리 공간의 곡선 작용이 Hochschild (코)호몰로지로부터 어떻게 대수적으로 유도되는가?
• RQ5 사이클릭 코호몰로지 위의 중력 대수적 구조는 Hochschild 코호몰로지의 BV 구조로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 캘라비-요우 DG 대수이거나 유도된 포incare 이중성 대수일 경우, Hochschild 코호몰로지 $ HH^*(A,A) $는 표준적인 게르스텐하버 브라켓을 갖는 BV 대수적 구조를 지닌다.
• 대칭 개방 프로페르스 대수 $ A $에 대해 $ HH_*(A,A) $와 $ HH^*(A,A^\nu) $는 모두 BV 대수이며, $ A $가 폐쇄형 프로페르스 대수일 경우 후자는 $ HH^*(A,A) $와 동형이다.
• 만약 $ A = C^*(M) $가 단순연결 다각형 $ M $의 코호몰로지 대수이며, 기본 클래스를 통해 포incare 이중성을 만족한다면, $ H_*(LM) \simeq HH^*(A,A^\nu) $는 BV 대수로서의 동형이 성립한다.
• 폐쇄형 프로페르스 대수 $ A $에 대해 Sullivan의 현도 다이어그램이 $ HH_*(A,A) $ 위에 작용하며, 이는 사이클릭 코호몰로지 위에 중력 대수적 구조를 유도한다. 브라켓은 $ \{x_1,\dots,x_k\} := i(b(x_1)\cup\cdots\cup b(x_k)) $ 로 정의된다.
• 사이클릭 코호몰로지는 Hochschild 코호몰로지의 BV 구조로부터 $ \{x,y\} := i(b(x)\cup b(y)) $ 로 정의되는 그룹화된 리 대수적 구조를 상속하며, 이는 스트링 브라켓으로 알려져 있다.
• Hochschild 코호몰로지의 BV 구조는 음의 사이클릭 코호몰로지 위로 올라가며 중력 대수적 구조를 형성한다. 이는 반복 적분을 통해 골드만 브라켓을 고차원 다각형으로 일반화한다.