[논문 리뷰] String topology and the based loop space

Eric Malm|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 닫힘, 연결, 방향성이 있는 다양체 $ M $ 의 체인 대수 $ C_*\Omega M $ 의 호크시ลด 코homology와 스트링 토폴로지 호모로지 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 사이에 바탈린-빌코비치(Batalin-Vilkovisky) 대수 동형사를 수립한다. $ C_*\Omega M $-모듈을 국소 계수로 사용하는 유도된 포incare 쌍대성과 매개변수 스펙트럼에 대한 아티야 쌍대성을 사용하여, $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에 자연스러운 BV 구조를 구성하며, 이는 초래-슐러의 루프 곱과 $ S^1 $-작용을 일치시키며, 이전에 $ K(G,1) $-다양체에 대해 얻어진 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

For M a closed, connected, oriented manifold, we obtain the Batalin-Vilkovisky (BV) algebra of its string topology through homotopy-theoretic constructions on its based loop space. In particular, we show that the Hochschild cohomology of the chain algebra C_*ΩM carries a BV algebra structure isomorphic to that of the loop homology $\mathbb{H}_*(LM)$. Furthermore, this BV algebra structure is compatible with the usual cup product and Gerstenhaber bracket on Hochschild cohomology. To produce this isomorphism, we use a derived form of Poincaré duality with C_*ΩM-modules as local coefficient systems, and a related version of Atiyah duality for parametrized spectra connects the algebraic constructions to the Chas-Sullivan loop product.

연구 동기 및 목표

• 닫힘, 연결, 방향성이 있는 다양체 $ M $ 에 대해 호크시ลด 코homology $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에 자연스러운 BV 대수 구조를 수립하는 것.
• 이 BV 구조가 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 의 초래-슐러 스트링 토폴로지 BV 대수와 동형임을 보이는 것.
• BV 연산자가 $ C_*\Omega M $-모듈을 국소 계수로 사용하는 유도된 포incare 쌍대성의 형태에서 유도됨을 보이는 것.
• 매개변수 스펙트럼과 아티야 쌍대성을 통해 스트링 토폴로지의 루프 곱이 $ C_*\Omega M $ 계수를 갖는 $ H_*(M) $ 의 교차 곱과 연결됨을 보이는 것.
• 이전에 $ K(G,1) $-다양체에 대해 스트링 토폴로지와 호크시ลด 코homology 사이의 동형사를 얻었지만, 이 결과를 일반 다양체로 일반화하기 위해 $ C_*\Omega M $ 을 기본 대수로 사용하는 것.

제안 방법

• 국소 계수 시스템으로서의 $ C_*\Omega M $-모듈을 사용하는 유도된 포incare 쌍대성을 사용하여, $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $ 의 쌍대성 동형사를 구성하는 것.
• 매개변수 스펙트럼에 대한 아티야 쌍대성을 적용하여 대수적 구성과 기하학적 초래-슐러 루프 곱을 연결하는 것.
• Hochschild 호모로지의 컨스 콘넥션 연산자 $ B $ 를 사용하여 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에서의 BV 연산자를 $ -D^{-1}BD $ 로 정의하는 것.
• 얻어진 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 의 BV 대수 구조가 Hochschild 쿠퍼 곱과 제르스텐하버 괄호와 호환됨을 보이는 것.
• Goodwillie 동형사 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ 와 $ D $ 를 조합하여 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 로의 원하는 동형사를 얻는 것.
• $ A_{\infty} $-모듈 이론과 바르 구조를 사용하여 유도된 함자와 $ \operatorname{Tor} $, $ \operatorname{Ext} $ 의 함자성 보장에 있어 $ A_{\infty} $-준동형사에 대한 처리를 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호크시ลด 코homology $ HH^*(C_*\Omega M) $ 는 스트링 토폴로지와 동형인 자연스러운 바탈린-빌코비치(Batalin-Vilkovisky) 대수 구조를 지니는가?
• RQ2 매개변수 스펙트럼과 아티야 쌍대성을 사용하여, $ \mathbb{H}_*(LM) $ 의 초래-슐러 루프 곱이 $ C_*\Omega M $-모듈 계수를 갖는 유도된 포incare 쌍대성에서 유도될 수 있는가?
• RQ3 $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에서의 BV 연산자가 표준적인 호크시ลด 쿠퍼 곱과 제르스텐하버 괄호와 호환되는가?
• RQ4 $ LM $ 에서의 $ S^1 $-작용이 스트링 토폴로지에서 $ \Delta $ 연산자를 유도하는 바, 이는 $ C_*\Omega M $ 의 호크시ลด 코homology로 어떻게 올라갈 수 있는가?
• RQ5 스트링 토폴로지와 호크시ลด 코homology 사이의 동형사는 $ K(G,1) $-다양체를 넘어서 일반 다양체로 일반화될 수 있는가? 이 경우 $ C_*\Omega M $ 을 기본 대수로 사용하는가?

주요 결과

• 논문은 $ C_*\Omega M $-모듈을 국소 계수로 사용하는 유도된 포incare 쌍대성을 사용하여, $ D: HH^*(C_*\Omega M) \to HH_{*+d}(C_*\Omega M) $ 의 쌍대성 동형사를 구성한다.
• $ D $ 와 Goodwillie 동형사 $ HH_*(C_*\Omega M) \cong H_*(LM) $ 의 복합은 $ HH^*(C_*\Omega M) \cong \mathbb{H}_*(LM) $ 의 계수 $ k $-모듈 동형사를 유도한다.
• $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에서의 BV 연산자 $ -D^{-1}BD $ 는 이 대수를 $ \mathbb{H}_*(LM) $ 의 스트링 토폴로지 BV 대수와 동형인 바탈린-빌코비치 대수로 만든다.
• $ HH^*(C_*\Omega M) $ 에 유도된 제르스텐하버 괄호는 표준적인 호크시ลด 코homology 괄호와 일치한다.
• $ \mathbb{H}_*(LM) $ 의 루프 곱은 매개변수 아티야 쌍대성 프레임워크를 통해 $ C_*\Omega M $ 계수를 갖는 $ H_*(M) $ 의 교차 곱에서 유도된다.
• 이 동형사는 이전에 $ K(G,1) $-다양체에서 $ C_*\Omega M \simeq kG $ 인 경우에 얻어진 결과를 일반 다양체로 확장하며, 군환을 기반 루프 공간의 체인 대수로 대체함으로써 일반화된다.