[논문 리뷰] On an enhancement of the category of shifted L-infinity algebras

Vasily Dolgushev, Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 완전한 내림차순 필터링과 '강화된' 무한형 사상( Maurer-Cartan 원소와 낫은 사상 포함)을 갖춘 이격된 $L_\infty$-대수를 강화하는 대칭 모나드 카테고리 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$를 도입한다. 이 카테고리에 대해 임의의 카테고리가 이 카테고리 위에 강화된 경우, 단순형 카테고리로 통합되며, 그 사상 공간들이 칸 복합체를 이룬다는 것을 증명한다. 이는 호모토피 대수의 $(\infty,1)$-카테고리에 대한 완전한 단순형 모델을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct a symmetric monoidal category $LIE^{MC}$ whose objects are shifted L-infinity algebras equipped with a complete descending filtration. Morphisms of this category are "enhanced" infinity morphisms between shifted L-infinity algebras. We prove that any category enriched over $LIE^{MC}$ can be integrated to a simplicial category whose mapping spaces are Kan complexes. The advantage gained by using enhanced morphisms is that we can see much more of the simplicial world from the L-infinity algebra point of view. We use this construction in a subsequent paper to produce a simplicial model of a $(\infty,1)$-category whose objects are homotopy algebras of a fixed type.

연구 동기 및 목표

• 이격된 $L_\infty$-대수의 필터링과 강화된 사상이 포함된 대칭 모나드 카테고리 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$를 구성하는 것.
• 기본적인 $\infty$-사상이 영이 아닌 MC 원소를 유지하고 단순형 모델링을 제한한다는 점을 해결하는 것.
• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-강화 카테고리의 통합을 통해 사상 공간이 칸 복합체인 단순형 카테고리로의 통합을 가능하게 하는 것.
• 후속 작업에서 고정된 유형의 호모토피 대수의 $(\infty,1)$-카테고리에 대한 단순형 모델을 제공하는 것.

제안 방법

• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$의 대상은 완전한 내림차순 필터링을 갖춘 이격된 $L_\infty$-대수이다.
• 사상은 쌍 $({\alpha}, F)$로 구성되며, ${\alpha}$는 대상의 Maurer-Cartan 원소이고, $F$는 낫은 대수 ${\mathfrak{L}}^\alpha$로의 연속적인 $\infty$-사상이다.
• 카테고리는 대칭 모나드가 되도록 구성되며, 텐서 곱은 직접 합과 확장된 $\infty$-사상에 의해 정의된다.
• Getzler-Hinich 구성법을 사용하여 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-강화 카테고리를 단순형 카테고리로 통합한다.
• 프로젝션 극한과 이동 사상에 기반한 강력한 모나드 함자 $\mathfrak{MC}_\bullet$를 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$에서 단순형 집합으로 정의한다.
• $\mathfrak{MC}_\bullet$ 함자가 합성과 곱을 유지하여, 사상 공간이 칸 복합체가 됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이격된 $L_\infty$-대수 간의 $\infty$-사상은 어떻게 강화되어, 영이 아닌 기저점(Trivial MC 원소)을 유지하지 않는 더 일반적인 단순형 사상으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 이격된 $L_\infty$-대수의 필터링이 있는 대칭 모나드 카테고리를 구성할 수 있는가? 이 카테고리의 강화된 카테고리가 사상 공간이 칸 복합체인 단순형 카테고리로 통합될 수 있는가?
• RQ3 Maurer-Cartan 원소와 낫음의 역할은 $L_\infty$-대수 사상의 영역을 확장하여 전체적인 단순형 호모토피 유형을 포착하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ4 강화된 사상 구조는 어떻게 단순형 사상 $\Delta^0$에서의 모델링을 가능하게 하는가?
• RQ5 고정된 유형의 호모토피 대수의 카테고리는 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-강화 카테고리로 모델링될 수 있는가? 이는 그 $(\infty,1)$-카테고리에 대한 단순형 모델을 이끌어내는가?

주요 결과

• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$는 필터링이 있는 이격된 $L_\infty$-대수와 MC 원소 및 낫은 $\infty$-사상이 포함된 강화된 사상이 있는 대칭 모나드 카테고리로 구성된다.
• 강화된 사상은 영이 아닌 기저점을 유지하지 않는 단순형 사상, 예를 들어 $\Delta^0$에서의 사상까지 모델링할 수 있게 하며, ${\mathrm{Hom}}_{{\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}}({\mathbf{0}}, L) \cong \mathrm{MC}(L)$로 표현된다.
• $\mathfrak{MC}_\bullet$ 함자는 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$에서 단순형 집합으로 가는 강력한 모나드 함자이며, 강화된 카테고리의 사상 공간에 대해 칸 복합체를 할당한다.
• 강화된 사상의 합성은 $\mathfrak{MC}_\bullet$ 함자 아래에서 유지되어, 단순형 구조가 합성과 호환됨을 보장한다.
• 이 구성은 임의의 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-강화 카테고리가 사상 공간이 칸 복합체인 단순형 카테고리로 통합될 수 있음을 가능하게 한다.
• 이는 고정된 유형의 호모토피 대수의 $(\infty,1)$-카테고리에 대한 단순형 모델을 제공하며, 후속 작업 [3] 에서 이를 보여준다.